ｎを2以上の自然数とする。袋の中に番号1,2,....,nの着いたカードそれぞれ1枚ずつ入っている。この袋から2枚のカードを無作為に取り出し、それらのカードの番号の和をｎで割った余りをXとする。Xの期待値(X)を求めよ。

ある被験者に透視能力があるかどうかを調べるための実験を行った。 １から５までの番号のかいた５枚のカードを一列に並べて伏せておき、次の２通りの方法でいいあてさせ、 ４枚以上正答の時、仮説H0:被験者には透視能力はない、を棄却する。

先頭車両から順に１からｎまでの番号ついたｎ両編成の列車がある。 ただしｎ≧２とする 各列車を赤色、黄色、青色のいずれか一色で塗るとき、となりあった車両の少なくとも

確率変数Xの確率密度関数P(x)を次で定める。 P(x)＝ 1/2(x+1) (－１≦ｘ≦1) 　　　 0 (x＜－１、１＜ｘ）

六角形ABCDEF上のAとCに各々動点XとYをとる。一回の操作でXとYは隣の頂点に各々確率0.5で動き、 XとYが同じ頂点に来たら操作をやめる。 ちょうどm回目にXとYが同じ頂点になる確率はs・

10本のくじの中に3本のあたりくじがある。このくじを無作為に1本ずつ5回ひく。ただし、引いたくじは元にもどさない。 問題　5回中あたりくじをちょうど3回ひく確率を求めよ。 この問題の解説を見ると、

1からnまでの番号が付いた赤球n個が赤い袋に入っており、 おなじく１からnまでの番号がついた白球n個が白い袋に入っている。 ただし、n＞＝3とする。

10個の中に3個の不良品が含まれている。 同時に2個取り出すとき、2個の中に含まれる不良品の個数の期待値を求めよ。

1～5の数字を9回選びます。 9回選んだ後に1、2、3、4、5と揃わない確率はどれくらいでしょうか？

１…複数のサイコロを同時に投げて、出た目をシートに記録する。 ２…特定の事象(さいころの目の値)の生起に着目して度数分布表を作成し、データを集計する。 ３…その特定の事象が生起する、場合の数（パターンの組み合わせ）を数え上げます。

１から８までの数字が１つずつ書いてあるかーどがそれぞれ１枚ずつ、合計８枚ある。 この中から４枚を取り出し、書かれた数字のうち最大のものをＸとする。 Ｘ＝５となる確率は？Ｘの期待値は？

独立な確率変数の例X1、X2、…が確率分布P(Xn＝ｊ)＝ｐi(ｊ≧0、ｎ≧1)をもつとき、 Sｎ＝∑(ｋ＝1～ｎ)Xk　(ただしS0＝0とする)はマルコフ連鎖となることを示し、その推移行列Pを求めよ。

確率変数Xｎ（ｎ＝1,2、…）の分布関数が FXｎ(ｘ)＝０　(ｘ＜0)　

初めて書き込みさせていただきます。 以下の確率の問題にアドバイス願いします。 （問)　事象B（P(B)＞０）に関する条件付確立は（Ω、F）上の確率であることを示せ。

＜問１＞ ｒ．ｖ．Ｘの確率分布が、 Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝mＣｋ＊ｎＣｍ－ｋ／m+nＣｍ （ｋ＝０～ｍ）　（１≦ｍ＜ｎ）であるとき

　二項分布B(n,p)からデータxが得られたとき、pの期待値は 　　(x+1)/(n+2)となることを証明せよ。 　　よろしくお願いします。

ｒ．ｖ．Ｘの確率分布が、 Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ｎＣｋ＊ｎＣｍ－ｋ／ｎＣｍ （ｋ＝０～ｍ）　（１≦ｍ＜ｎ）であるとき （１）Σ＿（ｋ＝０）＾（ｍ） Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝１ をしめせ。

Ｍ＝｛ａ，ｂ｝Ｎ＝｛１，２｝であるとき、 ２＾Ｍ×Ｎを求めよ 私が考えたのは

　離散型確率変数Ｘ，Ｙの分布はP（Ｘ＝xi）＝pi（i＝１，２），P（Ｙ＝yj）＝qj（j＝１，２）である。 　（１）P（Ｘ＝xi，Ｙ＝yi）＝rij（i，j＝１，２）とするとき 　　　　　ri1＋ri2＝pi（i＝１，２）

１．Xは[-1,1]で一様分布に従うとき ①Xの分布関数F_X(x)と確率密度関数ｐ_X(x)を求めよ。 ②Xの平均値E(X)と分散σ^2(X)を求めよ。

サイコロを120回振ったとき、1の目が出る回数をXとする ① 確率P(X＝ｋ)（ｋ＝1,2,・・120）を求めよ。 ② Xの平均値E(X)と分散σ^2(X)を求めよ。

確率変数の列｛X_n｝がXに確率収束するならば ｛X_n｝はXに法則収束することを示せ。

≪ 問題≫離散型確率変数X, Yの分布はP (X =xi)=pi(i=1, 2 ),P (Y=yi)= qj(j=1, 2) である。 P(X =xi, Y=yj) =rij (i,j=1, 2) とするとき,ri1+ri2 = pi(i=1, 2)およびr1j+r2j = qj(j=1, 2) が成立することを、確率の公理（A∩B＝φならばP（A∪B）＝P(A)＋P(B)）を用いて示せ。

状態{-2,-1,0,1,2}上のランダム・ウォークにおいて、時刻nで粒子が状態i(i=-1,0,1)にあれば 時刻n+1でi-1またはi+1に、時刻nで粒子が状態-2または2にあれば時刻n+1には等確率で、 -1,0,1の1つに移動するものとする。このマルコフ連鎖{Xn}に対して次の問に答えよ。

X1,X2,･･･は互いに独立な確率変数で、それぞれの平均はμ1,μ2,･･･, 分散は(σ1)^2,(σ2)^2,･･･ならば 　　　　　　　n　　　　　Yn=(1/√n)Σ((Xk-μk)/σk)　　　　 k=1

X、Yの同時確率密度関数が p(x,y)=k(x+y) (0≦x≦1,0≦y≦1) =0 (その他)のとき、次の問いに答えよ。

当たり４本、はずれ６本が入っているくじを、Ａ・Ｂ・Ｃの３人がこの順で引く。 　Ａｋ：「ｋ番目に引く人が当たる」(ｋ=１～３)　とするとき、 　Ⅰ条件つき確率Ｐ(Ａ２｜Ａ１)、Ｐ(Ａ３｜Ａ１∧Ａ２)

問題１つのサイコロを振って出た目の数の得点がもらえるゲームがあります。 (1)出た目が気に入らなければ１回だけ振り直すことを許すとする。 　　このゲームでもらえる得点の期待値が最大となるようにふるまったとき、

確率の質問です。 Ａ　と　Ｂは独立しており、Ｐ(A）＜Ｐ（Ｂ）、Ｐ（Ａ∩B）＝１/6, P(ＡＵＢ）＝3/4をみたすとき、Ｐ（Ａ）、Ｐ(Ｂ）を求めてください。

次の条件を満たす４桁の正の整数abcdの個数をそれぞれの場合で求めよ。 （１）9≧a＞b＞c＞d≧0 （２）9≧a≧b≧c≧d≧0

図のようにルーレットの棒の先をx軸におろした足のx座標をXとする。 次の問いに答えよ。ただし、ルーレットの半径は1とする。 1.Y=|X|とするとき、Yの分布関数F_Y(y)を求めよ。

袋に3個の白球とn-3個の黒球が入っている。 これらn個の球を袋から1個ずつ取り出すとき白球がX回目にはじめて取り出されるとして、 Xの期待値を、つぎのそれぞれの場合について求めよ。

赤球10個、白球20個をよくまぜて袋に入れる。この袋から13個の球を1度に取り出すとき、 その中に赤球がn個（0≦n≦10）含まれる確率をP_nとする。 1.P_nをnを用いてあらわせ。

E(ｘ)＝∫〔０→∞〕(１－Fｘ(ｘ))ｄｘ　で あることを証明せよ。

　確率空間（Ω,F,P）において以下を示せ。 　　　　①　任意のA,B∈Fに対して 　　　　　　　　B=(A∩B)∪(A^c∩B)

コインを８枚投げる １）表をむくコインの数の平均を求めよ。 ２）表をむくコインの分散を求めよ。

９本のくじのうち、当たりくじが３本ある。 １から９までの異なる番号札を持った９人が番号札の順にくじを引いていく。 ただし、ひいたくじは返さないものとする。

N,n[1]n[2],n[3]を1≦n[1]＜n[2]＜n[3]、n[1]＋n[2]＋n[3]＝2N を満たす定められた整数とする。 赤玉、白玉N個ずつ計2N個の玉を３つに分けて、袋１、袋２、袋３にそれぞれ

問)　確率変数のXのｐ.ｄ.ｆ.がＰ(ｘ)＝１／２(－１≦ｘ≦１),それ以外０であるとき, １) Ｙ＝ｘ^2の分布関数Ｇ(ｘ)を求めよ。 ２) Ｙのｐ.ｄ.ｆ.ｇ(ｘ)を求めよ。

独立な確率変数の列X_1，X_2，…が確率分布 P（X_n-1=-n)=1/n^2，P(X_n-1=n/(n^2-1))=1-(1/n^2)をもつとき， Σ（ｊ=1)^(n)X_ｊはｎ→∞のとき∞に概収束することを示せ．

サイコロの出た目だけ数直線上を正の方向に移動するゲームを考える。 ただし、８をゴールとしてちょうど８の位置へ移動した時にゲームを終了し、 ８を超えた分についてはその数だけ戻る。

１つのサイコロを４回投げて、出た目の数を順にx1,x2,x3,x4　とする。 (１)x1＜x2＜x3となる確率を求めよ。 (2)x1＜x2かつx3≧x4となる確率を求めよ。　

３つのさいころを投げるとき等しい目がある確率を求めよ。

6枚の硬貨に１から６までの番号をつけ、はじめはすべて表向きにしておく。 さいころを１回振るごとに出た目の番号の付いて硬貨が表なら裏にし、裏なら表にする 操作を繰り返す。このとき次の問いに答えよ。

白球15個と赤球4個が箱に入っている。この球から球を1個取り出す操作を繰り返す。 ただし、取り出した球は元に戻さない。 ｎ回目に取り出した球が３個目の赤球である確率をＰｎとする。

① 袋の中に赤球４個、白球３個が入っている。ここから「１個とり出して袋に戻さない」試行を ４回続けて行い、取り出した球を左から順に並べるとき、両端が白になる確率。

いつもお世話になっています。収束の問題がどうしても解けません。教えて下さい。 独立な確率変数の列Ｘ１,Ｘ２,・・・が確率分布 Ｐ(Ｘn-1=-n)＝1/n^2, P(Ｘn-1=n/n^2-1)＝１－1/n^2

点ｐは数直線上の原点にある。硬貨を投げて表が出ると＋１進み、 裏だ出ると－１進む。座標が４である点をAとして、次の問いに答えよ。 　（１）硬貨を10回投げて、点Pが点Aにくる確率を求めよ。

正14面体のサイコロがあったと仮定する。 サイコロの各面には整数が記してあり、それは以下の通りである。 「1」～「7」が1個ずつ、「8」と「9」は2個ずつ、「10」は3個

ある薬の治癒率は３分の２である。 この薬を７人の患者に投与する時、 少なくとも５人の患者が直る確率を求めよ。

①独立な確率変数の列X１,X２...が同じ平均μ, 分散σ＾2をもつとき,任意の整数αに対して Yn= 　∑Xj-ｎμ

箱に１から９までの番号がついた９つの玉が入っている。 それらをよく混ぜて箱から１つずつ順に全部取り出し、 取り出した順に新しく１から９までの番号をつける。

1回の試行で事象Aの起こる確率をpとする。 その試行をn会繰り返し行うとき、事象Aがちょうど r回起こる確率は　nCr・p^r・q^n-rとなる理由が分かりません。

A、B、C、Dの４つの県から２チームずつ計８チームの野球チームがトーナメント形式 で優勝を争うことになった。 １）決勝戦以外では同県勢同士の対戦がありえないような組み合わせになる確率

縦に６本、横に４本の等間隔の道筋がある。 太郎は一番左のP地点から一番右上のQ地点へ最短距離を進む。 花子はQ地点からP地点へ最短距離を進む。

(1)　確率変数Xの確率分布が　 P(X=k)＝k/8 (k=1,2,3)， P(X=4)＝p　であるとき 　①定数pの値を求めよ。

甲と乙が６回試合をして、試合ごとに勝者が１点を得る。 各試合で甲が乙に勝つ確率が２／３である。 甲が乙を常に１点以上リードしたまま６回の試合を終了する確率を求めよ。

次の式が成立するための条件をそれぞれ答えよ。 １）P(A|B)+P(A^C|B^C)=1 ２）P(A|B)=P(A|B^C)

確率収束と概収束の違いを分かりやすく教えてください。

初めのつぼの中に赤球が１個、白球が２個入っている。 「この中から球を１個取り出し、色を確かめて元に戻す。これを３回行った後、つぼを 空にして、赤球の出た回数と同数の赤球と、白球の出た回数と同数の白球をつぼに入れ

数直線上で、点Pが初め原点にあり、さいころを投げて4以下の目が出ると+2、 5以上の目が出ると-1だけ動く。さいころを4回投げたときの点Pの座標をXと した時、Xの確率分布表、X＜０である確率、Xの期待値E（X）を求めよ。

A君は一目惚れした彼女に熱烈な手紙を出したがついに返事は来なかった。 ただし出した先は、私信を検討するので悪名高い女子寮で、検討に引っかかって 彼女の手に渡らない確率は30％、彼女がそれを見て好意を抱いてくれても羞恥心

　確率の加法定理についての証明です。 A1、A2、…、Anにおいて P(A1∪A2∪…∪An)

大小２つのテーブルがあり、黄色いテーブルには４つの席、緑のテーブルには３ つの席がある。Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅ・Ｆの６人が席につくときの座り方について 考える。※テーブルは回転して同じになる座り方は同じとする。

７つのカード○○△△×××を１列に並べるとする。 ①×が２枚以上連続して並ばない並べかたのうち、 　最初が×である並べ方は何通りか？

１から４までのカードが１枚ずつ箱の中に入っていて この中から１枚取り出して元に戻すことを５回行う。 n（＝１、２、３、４、５）回目に引いたカードに書かれている数をa_nで表す

確率変数Ｘが２項分布Ｂ（１２、１／２）に従うとき Ｐ（Ｘ＝ｋ）（ｋ＝０～１２）の値の１つ１つを正規近似 して、相対誤差を求めよ。

離散型確率変数Ｘ、Ｙの分布はＰ（Ｘ＝ｘｉ）＝ｐｉ（ｉ＝１，２）、 Ｐ（Ｙ＝ｙｉ）＝ｑｉ（ｊ＝１，２）である。 （１）Ｐ（Ｘ＝ｘｉ、Ｙ＝ｙｉ）＝ｒｉｊ（ｉ、ｊ＝１，　　　２）とするとき

10本のくじ中に1本の当たりがある。それをA.B.Cの順で引いていく。 引いたくじを戻さずにBが当たりを引く確率を求めよ。　

（１）　 白球6個と赤球ｎ個が入っている袋から2個取り出したとき 取り出した2個の球の色が異なる確率が8/15となるようなｎの値を求めよ。

座標平面上で連立方程式ー２≦ｘ≦４、－２≦ｙ≦２の表す領域をTとする。 最初、点Pの位置は原点とする。２種類の硬貨A,Bを同時に投げて表が出るか 裏が出るかに従って、次のようにPの位置を決める試行をする。

テーブルの上に１から５までの数字が書いてある札が１枚ずつあり、５人の人が 順に１回だけサイコロをふる。出た目と同じ数字の札であれば、その札の数を その人の得点とし、その札をテーブルの上から取り除く。同じ数字の札がなければ

問題は、「全ての自然数が同様に確からしく選ばれる」ような事はありうるか？ というものです。 全ての自然数が同様に確からしく選ばれるとします。

次の確率を求めよ。 (1)2人でジャンケンをするとき、2回続けてアイコになる確率。 (2)3人で1回ジャンケンをして、1人の勝者が決まる確率。

20本のくじの中に4本の当たりがある。 これを3回引くとき、次の確率を求めよ。 1.連続して3回引くとき2回当たりが出る確率。

１個のサイコロを４回投げて出た目をa,b,c,dとする。 積abcd が600となる確率を求めよ。 積abcd が３の倍数となる確率を求めよ。

Ａ，Ｂ，Ｃの３人でじゃんけんをします。　 Ａは「グー」を出そうと思っています。 次の確率を求めなさい。

Ａ，Ｂ，Ｃ３人でじゃんけんをする。一度じゃんけんで負けた者は、 以後じゃんけんから抜ける。残りが１人になるまでじゃんけんを繰り 返し、最後に勝った者を勝者とする。ただし、あいこの場合も１回の

離散型確率変数Ｘ、Ｙの分布は Ｐ(Ｘ=xi)=pi(i=1,2),Ｐ(Ｙ=yj）=qj(j=1,2)である。 （1）Ｐ(Ｘ=xi,Ｙ=yj）=rij(i,j=1,2)とするとき

トランプ（ジョーカーを除いたもの）から1枚トランプを取り出すときの 事象について Ａ：スペードを引く　　　Ｂ：キングを引く

Aさんの家には子供が２人いることがわかっている。BさんがAさんの家に 行って玄関の外から声をかけたところ男の子の声で返事があった。その 男の子が長男である確率を求めよ。

『袋の中に赤球４個、白球２個がある。袋から１球を取り出し、色を記録して 袋に戻す。これを繰り返し、赤白どちらかが３回記録されたところで終了と する。終了までに取り出す回数の期待値を求めよ』

3人がじゃんけんで勝負をする。まず、1回戦で2人がじゃんけんをし、 2回戦でその勝者が残りの1人とじゃんけんをする。このような勝負を 繰り返していって、連続して2回勝った人を優勝とする。4回戦までに

Xの確率分布が f(x)=ax(1-x) 範囲が０≦ｘ≦１ 　　=0　　　　範囲がｘ＜０,１＜ｘ

箱の中に、赤青黄の同じ大きさのボールが５個ずつ入っている。 これを３個取り出すとき、次の問いに答えなさい ・３個とも同じ色になる確率

１個のサイコロを４回投げて出た目をａ，ｂ，ｃ，ｄとする。 （１）積ａｂｃｄが６００となる確率を求めよ。 （２）積ａｂｃｄが３の倍数になる確率を求めよ。

赤いボールが2つ、黄色いボールが3つ、青いボールが4つあります。 これを袋に入れ1つ取ったときに青いボールがでる確率。 9分の4ではないらしく、よくわかんないです。

１辺の長さが１の立方体の８個の頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈが 図のような位置関係にあるとする。この８個の頂点から相異なる３点を選び、 それらを頂点とする三角形をつくる。

確率の公理を用いて任意のA、B∈Fに対してP(B)=P(A∩B)＋P（A＾c∩B) を示せ。

赤、青、黄、緑の４色のカードが５枚ずつ計２０枚ある。各色のカードには、 それぞれ１から５までの番号が１つずつ書いてある。この２０枚の中から３枚を 一度に取り出す。

●離散型確率変数X,Yの分布は P(X=xi)=pi(i=1,2),P(Y=yj)=qj(j=1,2)である。 ●P(X=xi,Y=yj)=rij(i,j=1,2)とするとき

１から５までの数字が１つずつ書かれたカードがあるます。 始めにＡさんが１枚引き、それをもとに戻してから、Ｂさんが１枚引きました。 ＢさんがＡさんより大きい数字のカードを引く確率を求めなさい。

1個のさいころを5回続けて投げる時、 6の目がでる回数が2回以下である確率を求めよ。

1から9までの番号が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この9枚のカードを よくきって重ねた後、上から3枚のカードを左から順にならべて、3桁の数を作る。 この時、3桁の数が500以上の偶数である確率を求めよ。

１から１０までの１０個の自然数の中から任意に異なる３個の自然数を取り出す とき、最大の数が８である確率を求めよ。

1つのサイコロを2回投げて、1回目に出る目の数をa、2回目に出る目の数をb とする。このとき、次の確率を求めよ。 ・放物線y=x2乗－(a+2)x+bがx軸と異なる2点で交わる確率。

　ｘｙ平面上に動点Pがある。サイコロを投げて、奇数の目が出ればｘ軸の 正の方向に1だけ進み偶数の目が出ればｙ軸の正の方向に1だけ進むものとす る。動点Pは最初原点にあるものとし、サイコロを8回投げたとき、原点から

（Ωｉ，Ｆｉ，Ｐｉ）（ｉ＝１，２）を下記の条件を満たす確率空間とする。 Ω１＝{ａ，ｂ}，Ｆ１＝２＾Ω１，Ｐ１({ａ})＝ｐ，Ｐ１({ｂ})＝ｑ Ω２＝{ｘ，ｙ}，Ｆ２＝２＾Ω２，Ｐ２({ｘ})＝ｐ，Ｐ２({ｙ})＝ｑ

（Ωｉ，Ｆｉ，Ｐｉ）（ｉ＝1，2）を下記の条件を満たす確率空間とする。 Ω1＝｛ａ，ｂ｝，Ｆ1＝２＾Ω1，Ｐ1（｛ａ｝）＝ｐ，Ｐ1（｛ｂ｝）＝ｑ Ω2＝｛ｘ，ｙ｝，Ｆ2＝２＾Ω2，Ｐ2（｛ｘ｝）＝ｐ，Ｐ1（｛ｙ｝）＝ｑ

＜２４６２＞類題です。 離散型確率変数X,Yの分布は P(X=xi)=pi(i=1,2),P(Y=yj)=qj(j=1,2)である。

離散型確率変数X,Yの分布は P(X=xi)=pi(i=1,2),P(Y=yj)=qj(j=1,2)である P(X=xi,Y=yj)=rij(i,j=1,2)とする時

（１）Xが正規分布N(μ,σ^2)に従うとき、 　　　Y=aX^2(aは正の定数)の分布関数Fy(y)と確率密度関数py(y)を求めよ。 （２）Xの分布関数Fx(x)が

A,B,C,D,E,F,G,Hの８個の文字を一列に並べるとき、 AがBより左にBがCより左になる確率は？ A,B,Cを同じ文字としておいて考えるのかなと思いましたが

４個の黒の立方体ブロックと６個の白の立方体ブロックを無作為に横一列 に並べる。列の中で黒ブロックが連続している部分を黒部分列と呼び、 そのブロック数を黒部分列の長さとする。

A,B:事象 P(A)=p,P(A∪B)=q,P(A｜B)=rのときP(B-A)を求めよ

小数以下を四捨五入した数を100個合計したとき、その誤差をS100をする。 P(｜S100｜≧3)となる確率を求めよ。

（１）３択のクイズ５もんにでたらめに答えるとき正解数を表す確率変数を Ｘとするとき、 ①４題以上正解する確率Ｐ（４＜＿Ｐ）を求めよ

(1)1から10までの数字が書かれたカードが1枚ずつ合計10枚が入った箱がある。この 　　箱から無作為にカードを取り出し、カードに書かれた数字を確認して箱に戻す 　　ことを1回または2回行い、最後に取り出したカードに書かれた数字を得点とす

時間で100人にサービスするとき一人当たりの平均サービス時間は (4×60)/100=2.4(分)とありますが、 (6*60)/100=3.6(分)ではないでしょうか？

のやりとりがありましたが、上記を基に E(X+Y)=E(X)+E(Y)を示すには どうしたらよいでしょうか？

問　袋の中に１と書かれたカードが２枚、２と書かれたカードが２枚、 ３と書かれたカードが２枚、４と書かれたカードが２枚、の計８枚が入っている。 この袋から３枚のカードを同時に取り出す。

　はじめまして。次の問題をお願い致します。 （問）確率変数Xの分布がP(X=k)=1/3(k=0,1,2)であるとき，Y=2X-1とおく． 　　　X分布関数Fx(x)と分布関数Fy(x)を求めよ．

すみませんが、以下の問題をお願い致します。 （１）　M={0,1},N={a,b}とするとき 　　　　①　M^2,M×Nを求めよ。

またまたお邪魔致します。確率についての質問です。 ある出現確率pがあるとします。コイントスでも何でもイイんですが、 pは充分大きな試行回数Nを取って、出現回数nにより、

０から1/2までの数字からランダムに選ばれると仮定するとき、 次のうちのどの数字の間からもっとも多く選ばれるか？ A) 0 - 3/20 B)3/20 - 1/5 C)1/5-1/4

銀行のある窓口では、 1人の客に対してサービスに要する時間は、平均4分、分散3分です。 6時間で、100人以上にサービスできる確率はいくつになりますか。

１から１０までの数字を書いたカードが、それぞれ１枚ずつ１０枚ある。 順に３枚取り出すとき、先に取り出したカードが常に大きい数である確率 を求めよ。

１個のサイコロと２枚の硬貨を同時に３回投げるとき、次の確率を求めなさい。 (1)サイコロの目は奇数で、硬貨は２枚とも表という事象が２回起こる (2)サイコロの目が３の倍数で、硬貨は２枚とも表または裏という事象が

小数以下を四捨五入した数をn個合計したとき、その誤差をSnをする。 （１）小数以下を四捨五入したときの誤差をXとして、 　　　Xの分布関数Fx(x)と確率密度関数px(x)を求めよ。

確率変数Ｘは分布P_O(λ)をもっている。 このとき以下の値をできるだけ簡単な式にせよ。 （１）Ｐ(Ｘ＝1）

確率変数Ｘ，Ｙは独立で、ともに正規分布Ｎ(1.8, 2.0)をもつ。 分布表を用いて以下を答えよ。 (1)P(Ｘ+Ｙ≧5.0)

100＋ｘ本のくじの中に、１等1000円10本、２等500円ｘ本、３等100円30本、 ４等10円60本の当たりくじがある。このくじ１本を引くとき、次の問いに答 えなさい

△ＡＢＣがある。点Ｐが△ＡＢＣの頂点上をＡを出発点として動く。ひとつ のサイコロを投げて、偶数の目なら動点ＰはＡ→Ｂ→Ｃの順にひとつ進み、 奇数の目ならＡ→Ｃ→Ｂの順にひとつ進む試行を行うとする。このとき，動

１個のサイコロを投げて、１の目が出たら150円、２の目が出たら200円支払い、 それ以外の目が出たら100円受け取るゲームがある。 参加料が無料のとき、このゲームに参加することは得といえるかを答えなさい。

「サイコロを繰り返し振る試行を行う。x回目とx＋1回目に出た目の和が８に なったとき，この試行を終了するものとする。 Ｎ回目でこの試行が終了するとしたとき，Ｎの期待値を求めなさい。

X_n(n=0,1,2・・・)が互いに独立で同じ分布に従う離散的な確率変数とする。 1 {X_n}はマルコフ連鎖になることを示せ 2 S=∑(n,k=0)X_kとすると{S_n}はマルコフ連鎖になる事を示せ

①確率変数Ｘが lim Δx→0 P(x≦X≦x＋Δx|X＞x)/Δx=f(x),P(X＞0)=1を満たすとき、 Ｘの分布関数Ｆx(x)を求めよ。

離散型確率変数X,Yの分布は P(X=xi)=pi(i=1,2),P(Y=yj)=qj(j=1,2)である P(X=xi,Y=yj)=rij(i,j=1,2)とする時

（１）不良率1%の製品の山から、100個ずつ箱詰めにするとき、その中に不良品がＸ個 混じるとする。次の問いに答えよ １　確率P(X=k)(k=1,2,・・・100)を求めよ

r,v,xの分布関数Ｆ(x)が Ｆ(x)=0　　　(x＜0) 　　　x^2/4　(0≦x＜2)

確率空間、確率変数、確率の公理、分布関数について わかりやすく教えてください。

確率変数Ｘのp.d.f.p(X)＝1/2(x+1) （xは-１以上1未満）、０（その他のx) で あるとき　＜１＞　Ｘの分布関数　Fx（ｘ）を求めよ ＜２＞　Ｙ＝２Ｘ-１　とするとき,Ｙの分布関数Ｆx（x）を利用して求めよ

１から９までの数字を書いたカードが２枚ずつ計１８枚、箱の中に入っている。 この中から三枚取り出すとき、最も大きい数が５である確率を求めよ。 と言う問題なのですが、全然分かりません。ぜひ教えてください。

10n本の中にn本の当たりくじがある。くじ3本を引くとき、少なくとも1本の 当たりくじがある確率をPnとする。 (1)Pnを求めよ

問）ある本は１０ページにつき、１字の割合で誤植があるという。 このとき、２０ページからなる章でｘ字の誤植があるとする。次の問に答えよ。 ①１ページａ字詰めとして,確率P（ｘ＝ｋ）（ｋ＝０，１，２，…）を求めよ。

すみませんがわからない問題がありますので教えてください。 確率変数Ｘのp.d.f.　p(x)が 　p(x)=1/2(x+1) (-1≦x≦1)

ｘ軸上を原点から出発し、コインを２個投げて２個とも表が出たら右へ１だけ進み、 そうでないなら左へ１だけ進むことにする。 これをｎ回繰り返した時の移動後の位置ｘの期待値を求めよ。

条件つき確率の証明ってありますか？ もしあれば教えて下さい。 なければわかりやすく説明してください。

＝例題29＝　期待値 箱の中に、0と書かれたカードが3枚、1と書かれたカードが2枚、2と書かれた カードが1枚、合計6枚のカードが入っている。この箱の中から2枚のカードを

＝例題28＝　独立な試行の確率 x軸上を動く点Pがある。さいころを投げて、4以下の目が出れば点Pは x軸上の正の方向に3だけ進み、5以上の目が出ればx軸上の負の方向に

＝例題27＝　確率(2） 0から5の6種類の数字が表記された2つのさいころがある。 この2つのさいころを投げるとき、次の確率を求めよ。

大小２つのさいころを投げて、出た目の数をそれぞれ a,b とする。x, y についての連立方程式 2x+y=2, ax+by=3

1 から n までの整数を１つずつ記入した n 枚のカードがある。 この中から無作為に１枚のカードを抜き取り、記入してある数を X とする。 X は確率変数である。

（１）分配法則を用いて、任意の事象A、Bに対して 　　　B=（B∩A)∪（B∩A＾C）を示せ。 （２）確率の公理を示し、それらを用いて任意の事象A,Bに対して

はじめまして。 突然ですが、１枚のコインを８回投げる時、 表が５回以上続けて出る確率が分からないので教えて下さい。

確率変数Xに対して、Y＝２X＋１とおく。 ①Xの分布がP(X=K)＝１／３（K=0,1,2）であるときYの分布関数を求めよ。 ②Xのｐ、ｄ、ｆがP(X)＝X/2（０≦X≦２）　０（X＜０、２＜X)

確率変数Xに対して、Y＝２X＋１とおく。 ①Xの分布がP(X=K)＝１／３（K=0,1,2）であるときYの分布関数を求めよ。 ②Xのｐ、ｄ、ｆがP(X)＝X/2（０≦X≦２）　０（X＜０、２＜X)

１枚の硬貨をｎ回繰り返して投げるとき、 確率変数Ｔを規則「ｋ回目に初めて表が出たときＴ＝ｋとし、 ｎ回とも表が出ないとき場合にはＴ＝ｎとする」で定められる。

{E1、E2,,,,,,,En｝がΩの可測分割とは ①Ei≠Φは事象である。（i=1～n) ②Ei∩Ej＝Φ

確率の公理を示し、それらを用いて、 任意の事象A,BにたいしてP(B)＝（B∩A）＋P（B∩AC)を示せ。 P（B∩AC）はAのC乗みたいになっています。

大小2つのさいころを振り、出た目の最大公約数をgと する。そして数直線上の動点Pをgの値だけx軸正方向に 移動するという試行を考える。

A,B 2人がサイコロをそれぞれn回ずつ振り，そのk回目に出たA,B それぞれの サイコロの目をak,bkとする。このときa1b1+a2b2+・・・+anbnが偶数になる 確率をpnとする。

n枚(n≧3)のカードがあり，数字1,2,・・・,nが1つずつ書かれている， この中から同時に3枚のカードを取り出す。　　 (1)取り出した3枚のカードに書かれている数字のうち2番目に大きいものが

A,B二つ袋があり、Aには赤球2個と白球3個。Bには赤球3個と白球4個が 入っている。今、Aから２球を同時に取り出し、Bから２球を取り出す時、 赤球が３個になる確率を求めよ。

箱の中に、０の数字が書かれた球が1個、1の数字が書かれた球が３個、 ２の数字が書かれた球が３個、の合計７個の球が入っていいる。この中 から３個の球を同時に取り出すとき

1.　大.中.小のさいころの目の数をそれぞれa.b.cとするとき 　　ａ＜ｂ＜ｃとなる確率は「ア」であり、ａｂｃが全て異なる確率は、 　　「イ」である。

２個のさいころを同時に投げてでた目の和によって、平面上の点ｐを動かす。 点pが点（Ｘ，Ｙ）にあるとき、出た目の和が６以下のときは点（X、Y+1）に、 でた目の和が7のときは、点（X+1,Y+1）に、でた目の和が８以上のときは

試行一回当りに成功する確率Ｐ（値は不明とする）なる事象について考えます。 この確率ＰがＰｎ（値は決まっている）以上であることをＡ％の確からしさで 言うためには、何回連続で成功すればよいでしょうか。

●男子3人、女子4人を1列に並べる。 (1) 男子3人が隣り合うような並び方は何通りあるか。 (2) 男子同士、女子同士が隣り合うことがないような並び方は何通りあるか。

①ｎ個のサイコロを投げて目の和がｋとなる確率を求 　めよ。 ②10000円を1円5円10円50円100円500円1000円5000円で

{(x,y):0≦x≦1,　0≦y≦1}の正方形にｍ(十分大きな自然数)個の点を 無作為かつ独立に打つ。そのうち｛(x,y):x^2+y^2≦1｝の部分に打つ 確率を考えると、（ここでは円全体ではなく四分の一の扇型なので）

（問）Ａの袋には白球3個、赤玉2個、Ｂの袋には白球2個、赤玉4個が入っている。 1個のサイコロを投げて1,6の目が出たときは、Ａの袋から、 2、3、4、5が出たときはＢの袋から1個の玉を取り出す。

箱1と箱2があって、当たりくじが900枚、はずれくじが 100枚あります。 どのように、くじを分ければ当たりくじを引く確率が

確率の定義から以下のことを証明しなさい。 Ａ⊂Ｂ　のとき、P(A)＜=P(B)

白球７個、青球３個、赤球５個が入っている袋から 次のルール①、②にしたがって、１回につき球を１個取り出すものとする。 ①白球を取り出したときは、それを袋に戻さない。

a1,a2,…,an に 1 か 2 か 3 を振り分ける。 a1+a2+…+anが４の倍数である確率を求めよ。

原点を出発して数直線上を動く点Pがある。 さいころを投げて1、2、3の目が出たら右へ1動き、 4、5の目がでたら左へ1動き,6の目が出たら動かないものとする。

３人のじゃんけんの確率を教えてください。

１個のサイコロを１回投げた時、 １の目の出る確立をp、 １の目の出ない確立をqとする。

はじめまして。SPIの問題でわからなかったので教えてください。 よろしくお願いします。

確率変数Ｘの確率分布がＰ（Ｘ＝ｋ）＝１／４ （ｋ＝－２，－１，０，１）であるとき、 Ｙ＝Ｘ∧2の分布関数を作れ。

Ｍ＝｛ａ，ｂ｝Ｎ＝｛１，２｝であるとき、 (１)Ω＝Ｍ×Ｎの要素を全て書き上げよ。 (２)２∧Ωの要素を全て書き上げよ。

出た目の合計が最初に７になった方を勝ちとするゲームを行う。 このゲームをＡ君から始めるとき、 Ｂ君の勝つ確率はいくらか。

n人の男性とn人の女性がいます。一斉に異性を1人ずつ 指名するとき、i組のカップルが出来る確率Pi、および 平均何組のカップルが出来るかという期待値、nを無限大

次の問題が分からなくて悩んでいます。 Ａがさいころ３つ、Ｂがさいころ２つもち、振ってそれぞれの合計

①二つの正しいサイコロを同時に投げる実験を考える。 　一つのサイコロの出る目をＡ，他のサイコロの出る目をＢとする。 　Ａ＋Ｂ＝Ｋとおくときｆ（Ｋ）を求めよ。

二つの正しいサイコロを同時に投げる実験を考える。 一つのサイコロの出る目をＡ，他方のサイコロの出る目をＢとする。 Ａ＋Ｂ＝ｋとおくとき，

ｆ（ｘ）＝｛ｎ！／ｘ！（ｎ－ｘ）！｝・ｐ＾ｘ・（１－ｐ）＾ｎ－ｘ 　　　　　　　　（ｘ＝１，２，・・・，ｎ） において

ストライクとボールを２：１の割合で投げる投手がフォアボール （ストライクが３球になる前に，ボールが４球になる）を出す確 率？のやり方を教えてください

1．2．3．4．5．6のように同じ数字を用いて四桁の数を作る (1)3435,1212のように同じ数字が２つ出る数字が出る確率が 分かりません（＞－＜；

①3つの箱があって、どの箱にも赤，黄，青の玉が1個ずつ 　入っている。それぞれの箱から1個の玉を取り出すとき、 　3個すべてが同色である確率は□である。

今半径１の円がありその円に内接する正三角形がある。この円に弦を ひくときその弦の長さが内接正三角形の一辺よりも長くなる確率を求めよ。 実はこれが書いてあった本には答えがそれぞれ1/2,1/3,1/4となる解答が

赤カード３枚、青カード３枚、白カード２枚の計８枚のカードがある。 このとき次の各問に答えなさい。 １）１列に並べるとき、すべての赤カードがすべての青カードより左に

トランプをシャッフルするアルゴリズムの一例。 場[1]～[52]にカードが置かれている。一様乱数1～52を生成して その位置にカードがあれば配る。カードがなければ乱数発生から繰り返し。

次のようなゲームを考える。 A君、B君がサイコロを１つずつ投げ、次の規則によって２人の得点を決 める。

１つのサイコロを５回投げるとき、次の確率を求めよ。 （１）５回目にはじめて１の目が出る確率

すみませんがこの問題が分からないので教えてください。 ５桁の正の整数のうちで、５４３２１より大きいものは

数Ⅰの問題です。 （１）長さが２，３，５，６，１１である５本の線分から任意に３本選ぶ。

ｆ（x）＝2x 0＜x＜1 からの大きさ２の無作為標本をX1、X2とするとき、 Ｐ{X1＜＝ 2 X2｝を求めよ。

1組52枚のトランプから3枚を取り出すとき、３枚とも同種の札が出る 確率を求めよ。

１からｎ（ｎ≧２）までの番号のついたｎ枚のカードが１つの袋の中に 入っている。この袋から２枚のカードを同時に取り出して大きい方の数 字をＸとする。このときＸの期待値Ｅ（Ｘ）を求めよ。

まず例です。 　くじが10本あり、あたりがそのうちの3本だとします。これを10人が 順にひきます。一度ひいたくじはもとにもどしません。このとき、あた

[1](1)（1/2-√3）^3の整数部分と小数部分を求めよ (2)1/2-√3の整数部分がａ、小数部分がｂのとき、

＜１＞A,B,C　３個のサイコロを同時に投げて出た目をそれぞれ 　ａ､ｂ、ｃとする。次の確率を求めよ。 (１)積ａ・ｂ・ｃが奇数である確率

問１ ①円周を6等分する点を時計まわりの順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆとし、

はじめまして。 大数の法則には強法則と弱法則がありますが、なぜ強と弱なのでしょうか？ 弱法則では証明できないことが強法則では証明できるから、などの理由から

次の２題の問題がわからないので、解答宜しくお願いします。 ①　２以下の目が出る確率がｐ（０＜ｐ＜１）のさいころ

教えてください。 Ｑ，赤玉３個と白玉４個のはいった袋から玉を１個取り出す。

直方体のさいころがあり、そのある面が上に来る確率は９分の２、 もうひとつの面が出る確率は12分の１、 このさいころの出る目の期待値は３であるとき、１の目の反対側に

はじめまして。早速ですが、春休みの課題でわからないところが出てき たので質問させてください。 ２問あります。

サイコロをｎ回投げて、ｘｙ平面上の点Ｐ0、Ｐ1、・・・、 Ｐｎを次の規則(ａ）、(ｂ）によって定める。 (ａ）Ｐ0＝(０，０)

こんにちわ。ぷりんです。また確率について質問させて下さい。 Ｑ．トランプ５２枚の中から２枚を取り出すとき、１枚はハート、他の

こんにちわ。ご無沙汰してます，ぷりんです。 質問させてください。確率についてです。

初めて質問させていただきます。よろしくお願いします。 問１

　２問あります。教えて下さい。 　 　①３人でジャンケンをして順番をきめるとき、３にんの

ふたつあります。考え方からちょっとわからないので 詳しく教えて欲しいです。

こんばんは。ぷりんです。早速ですが質問させて下さい。 「問」１０本のくじの中に３本の当たりくじが入っているという。この

７本のくじのなかに当たりくじが３本ある。このくじを元に戻さずに、 Ａがまず初めに２本引く。次にＢが２本引く時、 ①Ａが1本だけ当たる確率

こんにちわ。ぷりんです。早速ですが質問させて下さい。学校でやった 問題です。 先生に授業で教えてもらったのですがいまいちよくわかりませんでした。

突然失礼致します。 以下の確率の問題がわからなくて困っています。 （問題）

こんにちは。 実は確率と数列で分からないので教えていただけないでしょうか?

掲載ミスがあったのでごめんなさい訂正します ２）１～１３までのカードから無造作に一枚取り出してそのカードの数を

相撲の確率について同点優勝はなしとする、 というご解答をいただきましたが、

ハサミ男という小説の中で 二子山部屋に貴乃花と若乃花、東関部屋に曙がいて、この３ 力士は彼等以外の力士に必ず勝ち、互いに対戦したときの勝

３個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が４の倍 数になる確率を求めよ。

確率の問題がいまいちわかりません。以下の問題を教えてく ださい。

（１）Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれ６人のチームから６人を選ぶ時、少なく 　　　とも１チームに１人以上出る確率は？

たびたび申し訳ありません。 例）６個の数字０，０，１，１，２，３の全部を使って

個々に区別を付けるということは、 たとえば、２つのさいころを同時に投げて、（３，３） が出た場合は１通りとして区別すべきか、２通りとして区別

つまり、同じものであっても数えられるようなものが 複数個ある時は必ず区別するのですか？

初歩的な質問ですが、確率で「区別する」「区別しない」 の見分けがつきません。

お返事、ありがとうございました。 先生が問題としていらっしゃる（3）以前に、 （2）＜2＞、＜3＞の式の意味が分かりません。

こんにちは。インターネットを始めて、まだ1ヶ月です。 数学を教えてもらえるいい先生でもいないかな～？ なんて思ってたら、まさにぴったりのこのページに

はじめまして。今、私の学校では変形サイコロを５００回振っ て１の目が出る確率を調べ、その実験についてのレポートを 書かなければなりません。そこでわからないことがあったの

例の確率の問題についてなんですが、 賞品をもらえる確率を表すグラフをMicrosoft　Excel で作ろうと思うんですが、やり方がよく分かりません。

メールありがとうございました。 皆様、本当に数学がお得意なんですね（^^) なんで私はこんなに確率が不得意なんだろうと思うとため息しか

御返事ありがとうございました。 まず、問題の方なんですけど、英語を訳したもので、書き忘れた肝心な ことがありました。賞品は一つしか用意されていないのです。

こんなに熱心に質問に答えてくれるホームページがあったなんて驚きました。 早速ですが、よろしくお願いします。 確率が「超」苦手なので、教えていただきたいです。

翁長（おなが）@那覇です．ご無沙汰しております． 確率の質問ですが，これは高校生の娘に教えるためではなく私自身必要なのにわから ないのです．よろしくお願いします．