質問＜３４７７＞２００６／１２／１１
from=GUZZI
「確率変数の収束」

初めての質問です。よろしくお願いします。

独立な確率変数の列X_1，X_2，…が確率分布
P（X_n-1=-n)=1/n^2，P(X_n-1=n/(n^2-1))=1-(1/n^2)
をもつとき，
Σ（ｊ=1)^(n)X_ｊはｎ→∞のとき∞に概収束することを示せ．

ヒント
平均値E（X_n)=0　(n≧1)
事象A_n=(X_n-1=n)  (n≧2)とおく．
Σ（n=2)^(∞)P(A_n)=Σ(n=2)^(∞)1/n^2＜∞であるからボレル・カンテリの定理を
用いる．

よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１２／１７
from=juin

An={Xn-1=-n},ΣP(An)＜∞
Borel-Cantelliの第１定理より、P(limsupAn)=0
すなわち、P(liminfAn^c)=1
liminfAn^c=∪[N=2,∞]∩[n=N,∞]{Xn-1=n/(n^2-1)}
ω∈liminfAn^cに対して、あるNが存在して
ω∈∩[n=N,∞]{Xn-1=n/(n^2-1)}だから、
Σ[n=N,∞]Xn(ω)=Σ[n=N,∞]n/(n^2-1)＞Σ[n=N,∞]1/n=∞