質問＜３７５１＞２００９／６／２４
from=ブー
「最大数の期待値」

１から８までの数字が１つずつ書いてあるかーどがそれぞれ１枚ずつ、合計８枚ある。
この中から４枚を取り出し、書かれた数字のうち最大のものをＸとする。
Ｘ＝５となる確率は？Ｘの期待値は？
詳しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００９／６／２５
from=cametan

＞この中から４枚を取り出し、書かれた数字のうち最大のものをＸとする。

この条件により、8枚あるカードから4枚を取り出す以上、最大値は「絶対4以上になる」と言う事が確定します。
1、2、3は「絶対最大値になり得ない」のです。

そうなると、取り出される4枚の組み合わせの可能性は、

最大値が4の場合:

{1, 2, 3, 4}

の計1種類

最大値が5の場合:

{1, 2, 3, 5}
{1, 2, 4, 5}
{1, 3, 4, 5}
{2, 3, 4, 5}

の計4種類

最大値が6の場合:

……と順番に数え上げていけば何とかなりそうです。要するに「力技でどーにでもなる」って事ですね。

しかし、これはナンボ何でもメンド臭いでしょう。
そこで、セット(組み合わせ)の最大値を固定して逆算して行く事を考えます。

例えば最大値が4の場合、取りうる数値は1～3の3つから3つ選ぶ「組み合わせ」です。
最大値が5の場合、取りうる数値は1～4の3つから3つ選ぶ「組み合わせ」です。
こうやって考えていくと、n個からr個選ぶ組み合わせをcombination(n, r)と表現すると、

最大値が4の場合:

combination(3, 3)個

最大値が5の場合:

combination(4, 3)個

最大値が6の場合:

……と考えて行きます。
つまり、問題の確率の分母は

combination(3, 3) + combination(4, 3) + combination(5, 3) + combination(6, 3)
 + combination(7, 3) = Σ_{n = 3}^7 combination(n, 3)

になる、って事です。

＞Ｘ＝５となる確率は？

従って、

p(X = 5) = combination(4, 3) / [Σ_{n = 3}^7 combination(n, 3)]

になる、って事です。
内訳はご自分で計算して下さい。

＞Ｘの期待値は？

期待値の定義に従って、

E(X) = 4 × p(X = 4) + 5 × p(X = 5) + 6 × p(X = 6) + 7 × p(X = 7) + 8 × p(X = 8)
 = [4 × combination(3, 3) + 5 × combination(4, 3) + 6 × combination(5, 3)
 + 7 × combination(6, 3) + 8 × combination(7, 3)] / [Σ_{n = 3}^7 combination(n, 3)]

を計算すれば良いです。
これも内訳はご自分で計算して下さい。

以上です。