質問

（１）Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれ６人のチームから６人を選ぶ時、少なく
　　　とも１チームに１人以上出る確率は？

（２）２つのさいころを振り、偶数がでると、その数の分すすみ、
　　　奇数のときは、一回休みのすごろくがある。平均は？

（３）８２Ｓ＋１７Ｒ＝１を満たす整数は？

お返事９９／８／３０
from=武田

問１

この選び方は、重複組合せで求めることができる。
公式　_nＨ_r＝_n+r-1Ｃ_r
Ａ，Ｂ，Ｃの３つの文字から６回重複を許して取り出す場合
の数は
分母＝₃Ｈ₆＝_3+6-1Ｃ₆
　　＝₈Ｃ₆＝₈Ｃ₂
　　＝２８通り
Ａ，Ｂ，Ｃの３つの文字から最低１回は取り出し、残り３回
分を重複を許して取り出す場合の数は
分子＝₃Ｈ₃＝_3+3-1Ｃ₃
　　＝₅Ｃ₃＝₅Ｃ₂
　　＝１０通り
　　　１０　　５
確率＝──＝──……（答）
　　　２８　１４

（追伸）このやり方は典型的な誤りの方法でした。つまり、
人間を異なる要素と見ないで、文字Ａ，Ｂ，Ｃのような没個性
として同一視してしまったところにあります。正解は関谷敏雄
先生からアドバイスを頂いていますので、下をご覧下さい。
(-_-;)

問２
２つのサイコロＡ，Ｂの出方が
Ａ　Ｂ
奇　奇→偶……(a)
奇　偶→奇……(b)
偶　奇→奇……(c)
偶　偶→偶……(d)

(a)の場合は、２つ目の合計だけ進む。Ａ　Ｂ
１＋１＝２より、確率は1/6×1/6＝1/36
１＋３＝４と３＋１＝４より、2/36
３＋３＝６と１＋５＝６と５＋１＝６より、3/36
３＋５＝８と５＋３＝８より、2/36
５＋５＝１０より、1/36
したがって、
（２×１＋４×２＋６×３＋８×２＋１０×１）／３６
＝５４／３６
(b)の場合は、一回休みなので、０×3/6×3/6＝０／３６
(b)と同様に
(c)の場合は、一回休みなので、０×3/6×3/6＝０／３６
(a)と同様に
(d)の場合は、２つ目の合計だけ進む。
Ａ　Ｂ
２＋２＝４より、確率は1/6×1/6＝1/36
２＋４＝６と４＋２＝６より、2/36
４＋４＝８と２＋６＝８と６＋２＝８より、3/36
４＋６＝１０と６＋４＝１０より、2/36
６＋６＝１２より、1/36
したがって、
（４×１＋６×２＋８×３＋１０×２＋１２×１）／３６
＝７２／３６

２つのサイコロを振ったときの前に進む期待値は
５４　　０　　０　７２　１２６
──＋──＋──＋──＝───＝３．５……（答）
３６　３６　３６　３６　　３６

サイコロを振るのが２回目の期待値は５．２５
サイコロを振るのが３回目の期待値は７．８７５

問３
８２Ｓ＋１７Ｒ＝１（不定１次方程式）の解き方は暗号作り
の計算にとっては大切な計算のようですが、うっかり忘れて
しまいました。

そこで、強引な計算で解いてみました。
８２Ｓ＋１７Ｒ＝１
１７（４Ｓ＋Ｒ）＋１４Ｓ＝１
１４（５Ｓ＋Ｒ）＋３（４Ｓ＋Ｒ）＝１
３（２４Ｓ＋５Ｒ）＋２（５Ｓ＋Ｒ）＝１
２（２９Ｓ＋６Ｒ）＋（２４Ｓ＋５Ｒ）＝１
と、右側の（　）の前の係数が１になるまで変形していきま
す。
そこで、左側を２９Ｓ＋６Ｒ＝ｎ（ｎは整数）とおく。
右側２４Ｓ＋５Ｒ＝１－２ｎ
この２式を連立して、
┏２９Ｓ＋６Ｒ＝ｎ
┗２４Ｓ＋５Ｒ＝１－２ｎ
したがって、
┏Ｓ＝１７ｎ－６
┗Ｒ＝２９－８２ｎ（ただし、ｎは整数）……（答）

例えば、ｎ＝１のとき、Ｓ＝１１，Ｒ＝－５３
ｎは整数なので、無数に解はある。

お便り９９／８／３１
from=関谷敏雄

（１）
次のような解答を得ました。先生の答えと結果が違うのですが、
どうなのでしょうか？

解答
　全体で18人いるので、そこから６人を選ぶ方法は、 
18C6 = 18564 である。
「各チームから少なくとも1人出す」の余事象を考える。
余事象は、「少なくとも1つのチームからは選ばれない」
である。これは、次の３つのケースに分けられる
　（１）　Ａから選ばれず、ＢまたはＣの12人から選ぶ　12C6
　（２）　Ｂから選ばれず、ＣまたはＡの12人から選ぶ　12C6
　（３）　Ｃから選ばれず、ＡまたはＢの12人から選ぶ　12C6
ところが、（１）と（２）の方法では、「Ｃだけから6人選ぶ」
という方法がダブってしまっている。同様に（２）と（３）では
「Ａだけから6人選ぶ」、（３）と（１）では「Ｂだけから6人
選ぶ」がダブっている
　そこで、（１）、（２）、（３）の合計から今のダブりの場合
の数３を引かなければならない
3×12C6 - 3 = 2769
よって、求める確率は
1 - 2769 / 18564 = 405 / 476
 
（補足）先生の場合分けだと、Ａから6人選ぶ場合を1通り、Ａ
から5人Ｂから1人選ぶ場合も1通りご数えていると思います。
私の方法では前者は1通りですが、後者は36通りと見ています
（Ａから5人選ぶ方法が6通り、Ｂから1人選ぶ方法が6通りで
計36通り）。そのへんの違いがあるのかと思うのですが．．．

（３）
不定方程式ですが、高木貞治　著　「初等整数論講義」のはじめ
の方にこのような不定方程式の解き方がでています。