質問＜３５０６＞２００７／１／２５
from=でん
「確率・平均分散」

  コインを８枚投げる
  １）表をむくコインの数の平均を求めよ。
  ２）表をむくコインの分散を求めよ。
  ３）表をむくコインの数と裏をむくコインの数の積の期待値を求めよ。
   
  特に３が自信ありません。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／２／２８
from=juin

i番目のコインが表の時、Xi=1、裏の時Xi=0とする。
(1)
EXi=1*(1/2)+0*(1/2)=1/2
E(X1+X2+...+X8)=8*(1/2)=4  答４枚

(2)
V(Xi)=E[Xi-(1/2)]^2=(1-(1/2))^2*(1/2)+(0-(1/2))^2*(1/2)=1/8+1/8=1/4
V(X1+X2+...+X8)=8*(1/4)=2

(3)
S=X1+X2+...+X8とする。
E[S(8-S)]=E[8S-S^2]=8ES-E[X1+X2+...+X8]^2
ここで、8ES=8*4=32
E[X1+X2+...+X8]^2=E[ΣXi^2+2ΣXiXj](i＜j)
EXi^2=1^2*(1/2)+0^2*(1/2)=1/2
EXiXj=EXiEXj=(1/2)(1/2)=1/4
だから、E[S(8-S)]=8*(1/2)+[2*8(8-1)/2]*(1/4)
=4+56/4=4+14=18