質問＜３５０５＞２００７／１／１８
９本のくじのうち、当たりくじが３本ある。 １から９までの異なる番号札を持った９人が番号札の順にくじを引いていく。 ただし、ひいたくじは返さないものとする。 最初に当たりくじをひいた人の番号札の番号をｘ 二番目に当たりくじをひいた人の番号札の番号をＹ 三番目に当たりくじをひいた人の番号札の番号をＺとする。 １）Ｘ＝１となる確率 ２）Ｘ＝２となる確率 ３）Ｚ－Ｘ＝７となる確率 ４）Ｙ＝５となる確率 条件つき確率だと思うんですが、どれも同じような確率になってしまい、 わからなくなってしまいました。 よろしくお願いします！ ★希望★完全解答★
お便り２００７／１／２１
from=wakky
二通りの解答を示します。 後段の方がいいように思います。 【解答その１】 １）１番目の人が当たりくじを引けばよいから ３／９＝１／３・・・（答） ２）１番目の人がはずれくじを引き、２番目の人が当たりくじを引けばよいから （６／９）×（３／８）＝１／４・・・（答） ３）Z-X＝７となるのは、X＝１かつZ＝８ または X＝２かつZ＝９ のとき ①X＝１かつZ＝８のとき X＝１となる確率は１）より１／３ Z＝８となるのは、７番目の人が引き終わって、当たりくじ１本、はずれくじ１本が残っていて ８番目の人が当たりくじを引く場合 このとき８番目の人が当たりくじを引く確率は１／２ Ｙの値は２，３，４，５，６，７の６通りあって、Ｘ＝１だから １番目の人が終わって、当たりくじ２本、はずれくじ６本あって ２番目から７番目の人のうち一人だけが当たりくじを引くことだから Ｙの値が２，３，４，５，６，７のいずれかになる確率は ６×（６×５×４×３×２×２）／（８×７×６×５×４×３）＝３／７ 以上からX＝１かつZ＝８となる確率は （１／３）×（１／２）×（３／７）＝１／１４ ②X＝２かつZ＝９のとき Ｘ＝２となる確率は２）より１／４ Ｚ＝９となるのは、８番目の人が引き終わって、当たりくじ１本だけ残っていて このとき９番目の人が当たりくじを引く確率は１ Ｙの値は３，４，５，６，７，８の６通りあって、Ｘ＝２だから ２番目の人が終わって、当たりくじが２本、はすれくじが５本あって ３番目から７番目の人のうち一人だけだ当たりくじを引くことだから Ｙの値は３，４，５，６，７，８のいずれかになる確率は ６×（５×４×３×２×１×２）／（７×６×５×４×３×２）＝２／７ 以上からX＝２かつZ＝９となる確率は （１／４）×１×（２／７）＝１／１４ 求める確率は①と②の場合の和だから （１／１４）＋（１／１４）＝１／７・・・（答） ４）Ｙ＝５だから Ｘの値は、１，２，３，４の４通りで １番目から４番目の人のうち、一人だけ当たりくじを引くから その確率は ４×（６×５×４×３）／（９×８×７×６）＝１０／２１ ４番目の人が終わって、当たりくじは２本、はずれくじは３本あるから Ｙ＝５なので５番目の人は当たりくじを引くから、その確率は ２／５ Ｚの値は６，７，８，９の４通りで ５番目の人が終わって、当たりくじは１本、はずれくじは３本あるから このとき６番目から９番目の人の一人だけが当たりくじを引く確率は 当然のことながら 1 よって求める確率は （１０／２１）×（２／５）×１＝４／２１・・・（答） 【回答その２】 １番の人から９番の人まで順にくじをひくのだから 逆に、３本の当たりくじと６本のはずれくじを、左から順に並べることを考える。 当たりくじを○、はずれくじを×と表すことにする。 ３つの○と、６つの×の並び方は全部で 9Ｃ3＝８４通り。 （重複順列として、９！／（３！６！）＝８４としてもいいでしょう。） １）Ｘ＝１だから 一番左に○をおけばよいので、その並び方は残りのくじの並び方だから 8Ｃ2＝２８通り よって求める確率は ２８／８４＝１／３・・・（答） ２）Ｘ＝２だから 一番左に×、左から２番目に○をおけばよいので 7Ｃ2＝２１通り よって求める確率は ２１／８４＝１／４ ３）X＝１かつZ＝８ または X＝２かつZ＝９の場合だから ○（××○×××）○× だだし（ ）内の○は（ ）内のどこにあってもよい。 ×○（××○×××）○ だだし（ ）内の○は（ ）内のどこにあってもよい。 という場合だから それぞれ（ ）内は６通りずつ、計１２通りあるので １２／８４＝１／７・・・（答） ４）Ｙ＝５だから （××○×）○（××○×） だだし（ ）内の○は（ ）内のどこにあってもよい。 （ ）内の並び方は ４×４＝１６通りあるので 求める確率は １６／８４＝４／２１・・・（答）