質問

問題は、「全ての自然数が同様に確からしく選ばれる」ような事はありうるか？
というものです。

全ての自然数が同様に確からしく選ばれるとします。
まず、１が選ばれる確率は０です。（∵lim[k→∞]1/k=0）
同様に、任意の自然数ｋが選ばれる確率も０です。
逆に自然数が選ばれる確率は当然１です。

ところで、
（１が選ばれる確率）＋（２が選ばれる確率）＋（３が選ばれる確率）＋…
＝（自然数が選ばれる確率）　　　①
は明らかに成り立ちます。

よって、①式に代入すると
０＋０＋０＋…＝１
より、０＝１
となってしまう。

よって、背理法より、このような確率は存在しないことになる。

という証明があります。

視点を変えて
①式をまずｋ個の有限で考えてみる事にします。
（つまり、Σ[k=1,n]（ｋが選ばれる確率）
＝（ｎ以下の自然数が選ばれる確率）という事、①はｎ→∞とした形）

今、自然数がn個あるとすると、
左辺＝右辺＝１
よって両辺はｎによらない定数なのでｎ→∞とすると、１＝１となり成立する。
これは、①式を意味するので、問題がない。

という意見もあります。

考えてみたのですが、どっちが正しいのか分からなかったので、
詳しい方、教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／２１
from=wakky

前半は、単に
０×∞＝０　ということになります。
本当にそうなんでしょうか？

後半は
有限部分和を取って、ｎ→∞としていることになります。
高度な数学はわかりませんけど
後半の考え方でいいんじゃないでしょうか？

お便り２００６／１／２３
from=juin

{1,2,...,n}の上に一様な確率を入れる。
P({1})=P({2})=...=P({n})=1/n
自然数N={1,2,3,...}の場合、一様な確率は存在しない。