質問＜３３８６＞２００６／９／１５
from=nana
「確率」

点ｐは数直線上の原点にある。硬貨を投げて表が出ると＋１進み、
裏だ出ると－１進む。座標が４である点をAとして、次の問いに答えよ。
　（１）硬貨を10回投げて、点Pが点Aにくる確率を求めよ。

　（２）硬貨を8回投げて、点Pが点Aにくる確率を求めよ。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１７
from=亀田馬志

う～～ん･･････。
これはいわゆるランダムウォークと言われる問題の基礎的な部分なんですが、
僕はこのテの｢確率過程｣と言われるジャンルが苦手で(笑)、かついまだ勉強中の身です。
また、nanaさんがどの程度確率論を勉強しているのか全然把握できないので、
本来マズいんですが、敢えて｢問題を解く為のテク｣と言う形で書きますね。
要するに｢こう言う問題を見たらこう解け｣と言う話にします。暗記モノに落して
しまいましょう。
まあ、これで納得できなかったら(と言うか暗記モノでは納得できる/できない、
ではなくってただそうやれ、って事ですが)また質問してみるとかしてみて下さい。
多分僕よりももっと説明が上手い人がいるかもしれませんし、ハッキリ言うと、
｢確率過程｣に関する易しい入門書を読んだ方がマシな気がします。

本来、｢数学的にキレイに解く｣のを考えなければ、単に樹形図を描けば済む問題です
(他にも色々なアプローチがあるかもしれません)。が、試行数が増えるとこれが
ややこしい。
一般に、次のような問題、

｢点ｐは数直線上の原点にある。確率πで＋１進み、
確率1－πで－１進む。座標がxである点をAとして、n回の試行で点Pが点Aにくる
確率Pを求めよ｣

を見かけた場合、二項分布を使った次の公式Pに当て嵌めます。

n＋x＝偶数、－n＜x＜nの時、

P(x)＝combin{n, (n＋x)/2}*π^{(n＋x)/2}*(1－π)^{(n－x)/2}

それ以外の条件の時

P(x)＝0

これだけです。
敢えてここでは二項分布の式の解説はしませんが、問題に即して適切な値を
代入すればそのまま自動に答えが得られます。
例えば（１）の場合はπ＝1/2、n＝10、x＝4として上の式に値を代入すれば
そのまま答えが得られます。
例によって、ちょっとパソコン(Microsoft Excel)で得られた回答と確率分布を
見てもらいましょう。前提知識としては、極端な結果としては点pは最大でx＝10、
最小でx＝－10の位置にいる、って事だけは自明とします。

				
	硬貨を10回投げて点pが取りえる数直線上の位置	
	その確率P	
	-10	
	0.000976563	
	-8	
	0.009765625	
	-6	
	0.043945313	
	-4	
	0.1171875	
	-2	
	0.205078125	
	0	
	0.24609375	
	2	
	0.205078125	
	4	
	0.1171875	
	6	
	0.043945313	
	8	
	0.009765625	
	10	
	0.000976563	
	確率の総和	
	1	
				

問題ではx＝4なので、その確率は11.71875％だと言う事が分かります。
そして、全ての可能性を足し合わせると1になる、って部分も押えておいて下さい。
ところで上の表を見て、

｢あれ、数直線上の奇数の位置はどうなったの?｣

と思われるかもしれません。実はそれに付いては考えなくってイイんです。
と言うのも、上の公式で、

｢n＋x＝偶数、－n＜x＜nの時｣

って条件がありますが、これを満たすのはこのケースですと、｢偶数の時だけ｣なんです。
と言うより、点pの取りえる位置は偶数以外無いんです。
これはちょっとだけ樹形図描いて調べてみれば分かるんですが、試行回数nが偶数の時、
点pの取りえる値は偶数しか無いのです。また、試行回数nが奇数の時、点pの取りえる値
は奇数しかありません。n＝3～5程度で樹形図描いてみればその規則性が分かると思います。
すなわち、忘れてるかもしれませんが(僕は忘れてました･笑)、小学校で習った、

奇数＋奇数＝偶数
偶数＋偶数＝偶数

ってルールがあるが為、｢n＋x＝偶数の時｣と言う条件が加味されていて、かつ｢その他の
場合にはP(x)＝0｣なんです。言わばこれは数理的にどうの、と言うよりかは(そうかも
しれませんが)、｢アトヅケの条件｣なんですね。｢樹形図描いてみるとそうならざるを
得ない｣と言う辺りがホントのトコなのかもしれません。

(2)もネタは丸っきり同じです。下にMicrosoft Excelで計算した確率分布をあげておきます。

				
	硬貨を8回投げて点pが取りえる数直線上の位置	
	その確率P	
	-8	
	0.00390625	
	-6	
	0.03125	
	-4	
	0.109375	
	-2	
	0.21875	
	0	
	0.2734375	
	2	
	0.21875	
	4	
	0.109375	
	6	
	0.03125	
	8	
	0.00390625	
	確率の総和	
	1	
				

点pがx＝4に到達できる確率は10.9375％のようです。