質問＜２６３＞２０００／５／２７
掲載ミスがあったのでごめんなさい訂正します ２）１～１３までのカードから無造作に一枚取り出してそのカードの数を 記録し元に戻すことを３回繰り返す。 ここで一回目にでるカードの数をＸ１、二回目のカードの数をＸ２、三回目 のカードの数Ｘ３とする このとき Ｙ＝Ｘ１Ｘ２ + Ｘ２Ｘ３ + Ｘ３Ｘ１とおくと Ｙを１３でわった余りが１に成る確率をもとめよ ［新規質問］ 関数ｆ（ｘ）はｆ(0）=0, f'(x)＞0, f'''(x)＜0を満たすものとする またｋは１より大きい定数としてｓ．ｔを f(t)=kf(s), 0＜s＜t を満たすものと定める。 １）t/s>k , lim(t→0)t/s=kを証明せよ 2)とくにf(x)=sinx(0＜x＜π/2)のとき、t/s(0＜s＜t＜π/2) はtの増加関数であることを示せ
お返事２０００／５／２８
from=武田
問１２） 表計算ソフトを利用して、全部計算してみると、 Ｙ＝Ｘ1 Ｘ2 ＋Ｘ2 Ｘ3 ＋Ｘ3 Ｘ1 Ｘ1 Ｘ2 Ｘ3 Ｙ 余り １ １ １ ３ ３ １ １ ２ ５ ５ １ １ ３ ７ ７ １ １ ４ ９ ９ １ １ ５ １１ １１ １ １ ６ １３ ０ １ １ ７ １５ ２ １ １ ８ １７ ４ １ １ ９ １９ ６ １ １ １０ ２１ ８ １ １ １１ ２３ １０ １ １ １２ ２５ １２ １ １ １３ ２７ １ ←問題の余り１ 上のような１サイクルで１回余り１が出てくる。 同様な出方だとすると、１３×１３＝１６９回出ることになるが、 表計算ソフトによると、全くないときと全部のときがある。これを分析してみると、 Ｙ＝Ｘ1 Ｘ2 ＋（Ｘ1 ＋Ｘ2 ）Ｘ3 より、 Ｘ1 ＋Ｘ2 ＝１３のときに、余りが全部Ｘ1 Ｘ2 を１３で割った余りとなる。 Ｘ1 Ｘ2 余りが全部 １ １２ １２ ←余り１は無し ２ １１ ９ ←余り１は無し ３ １０ ４ ←余り１は無し ４ ９ １０ ←余り１は無し ５ ８ １ ←１３個の余り１がある ６ ７ ３ ←余り１は無し ７ ６ ３ ←余り１は無し ８ ５ １ ←１３個の余り１がある ９ ４ １０ ←余り１は無し １０ ３ ４ ←余り１は無し １１ ２ ９ ←余り１は無し １２ １ １２ ←余り１は無し また、Ｘ1 ＋Ｘ2 ＝２６のときも考えて、 Ｘ1 Ｘ2 余りが全部 １３ １３ ０ ←余り１は無し したがって、 １３×１３×１３＝２１９７個の場合分けのうち １６９－１３＋１３×２＝１８２個が余り１となるので、 １８２ 確率は────≒０．０８２８４≒８．２８４％……（答） ２１９７ 問２新規質問 未解決問題のコーナーに移しました。CharlieBrownさんから アドバイスが届きました。
お便り２００１／１１／１５
from=CharlieBrown
この問題にも記載ミスがあります。
「関数f(x)はf(0）=0, f'(x)＞0, f'''(x)＜0を満たすものとする」
のままでは、(1)に反する例を挙げることができます。
例：f(x) = 1-cosx
正しくは、
「関数f(x)はf(0)=0, f'(x)＞0, f''(x)＜0を満たすものとする」
です。
まず、問題文の不足を補いましょう。
全ての実数で連続かつ2階微分可能な関数f(x)は、
f(0)=0 かつ、
区間 0＜x＜a （aは定数）でf'(x)＞0, f''(x)＜0を満たすものとします。
例：f(x)=sinx a=π/2、f(x)=-x^2+2x a=1 など。
次に問題文の解釈をしてみましょう。
関数f(x) は、
f(0)=0 より原点を通り、
区間 0＜x＜a でf'(x)＞0, f''(x)＜0 より上に凸な増加関数です。
また、kを1より大きい定数として、実数s,tを
f(t)=kf(s), 0＜s＜t を満たすものと定める、とありますが、
これは、区間 0＜x＜a に属する実数tを一つ選んだ時、
0とtの間の実数で f(t)=kf(s) の関係を満たすものが存在し、
それをsとする、ということです。
このことは、上に凸な増加関数を作図するとより判りやすくなります。
f(t)=kf(s) より、y軸上にf(t)とf(s)をとると、
原点からの距離の比が、f(s):f(t)=1:k (一定)になっています。
そうなるようなsを、0とtの間から選べ、ということです。
したがって、tをどこにとるかで、sの値も変わってきます。
つまり、sはtの関数 s=s(t) なのです。
この事実は問題の後半で効いてきます。
1）t/s>k, lim(t→0)t/s=kを証明せよ
この問題の前半は、グラフを見れば当たり前の話です。
上に凸な増加関数で、y軸上にf(s):f(t)=1:k ととったとき、
x軸上では、s:t=1:κ と書くと、確かにκ＞k になっています。
これを、原点とグラフ上の点(s,f(s))、
および(t,f(t))を結んだ線分の傾きで考えると、
傾きは前者の方が大きいです。
つまり、f(s)/s ＞ f(t)/t です。
逆に、この関係が証明できれば、
両辺× t/f(s) より、t/s ＞ f(t)/f(s) = k となるので、
問題の関係を導けます。
従って、当面の目標は f(s)/s ＞ f(t)/t の証明です。
0＜s＜t に対して f(s)/s ＞ f(t)/t より、
関数 g(t) = f(t)/t を考えると、
この関係は、関数g(t)が t の減少関数であることを示しています。
これを証明するため、関数g(t)をtで微分して増減を調べます。
tf'(t)-f(t)
g'(t) = ----------- (商の微分)
t^2
となり、分母はt＞0で常に正ですから、
この式の正負は分子の正負で決まります。
そこで、その正負を判断するために、分子の関数を改めてh(t)とおき、
増減を考えるため、再びtで微分します。
h(t) = tf'(t)-f(t)
h'(t)= 1・f(t) + tf''(t) - f'(t) (積の微分)
= tf''(t)
ここで、問題の仮定より 0＜x＜a でf''(x)＜0であるから、
0＜x＜a で h'(t)＜0、すなわち関数h(t)はtの減少関数で、
h(0)=0・f'(0)-f(0)
=0 (∵f(0)=0)
ですから、0＜x＜a でh(t)＜0です。
したがって、同じ区間でg'(t)＜0となり、
g(t)が減少関数であることが示されました。
1)の後半、および2)については後日に送ります。
（武田先生へ：お忙しい中恐縮ですが、 簡単な図を添えていただけたら幸いです。）
（武田談：ゴメンナサイ。難しくて図が書けません。(^_^；)
お便り２００１／１１／１７
from=CharlieBrown
後半です。
lim(t→0)t/s=kを証明せよ。
厳密に言うなら、tは正の範囲でしか定義されていないので、
t→0は、t→+0と、左側極限値で表すのが適当でしょう。
これを示すにあたって、次の極限値を考えます。
f(t)
lim(t→0)----
t
f(t)-f(0)
=lim(t→0)--------- (∵f(0)=0)
t-0
=f'(0)
また、f(t)=kf(s)より、
kf(s)
-----=1
f(t)
です。
これらの関係を用いると、t→0 のとき s→0 なので、
t
lim(t→0)-
s
t kf(s)
=lim(t→0)-･-----
s f(t)
t f(s)
=k･lim(t→0)----･----
f(t) s
t f(s)
=k･lim(t→0)----･lim(s→0)----
f(t) s
=k･1･1
=k
(2)については、また後ほど。
お便り２００１／１１／２１
from=CharlieBrown
2)とくにf(x)=sinx(0＜x＜π/2)のとき、t/s(0＜s＜t＜π/2)
はtの増加関数であることを示せ
f(t) = kf(s) の両辺をtで微分すると、陰関数微分を用いて、
f'(t) = kf'(s)･ds/dt
∴ds/dt = f'(t)/kf'(s)
= f'(t)f(s)/f'(s)f(t)
よって、
d/dt(t/s) = (s-t･ds/dt)/s^2
= (s-t･f'(t)f(s)/f'(s)f(t))/s^2
= (sf'(s)/f(s)-tf'(t)/f(t))/(s^2f'(s)/f(s)) …*
となる。この式の分母は 0＜x＜a で常に正だから、
正負は分子の正負で決まる。
t/s がtの増加関数であることは、上の式の分子が正であることと同値だから、
0＜s＜t に対して sf'(s)/f(s)＞tf'(t)/f(t) であることを示せばよい。
これは、関数 j(x) = xf'(x)/f(x) とおくと、
j(x)がxの減少関数であることを示すことに帰着する。
0＜x＜a でj(x)＞0 であるから、
j(x)が減少関数であることと、1/j(x)が増加関数であることが同値。
ここで、f(x)=sinxとすると、
1/j(x) = tanx/x
d/dx(1/j(x)) = (x/cos^2x-tanx)/x^2
= (x-sinxcosx)/x^2cos^2x
= (x-sin2x/2)/x^2cos^2x …**
d/dx(x-sin2x/2) = 1-cos2x＞0 (0＜x＜a)
より**の分子はxの増加関数で、x=0のとき分子=0だから、
0＜x＜a で ** ＞0。
したがって、1/j(x)はxの増加関数。