質問

10本のくじの中に3本のあたりくじがある。このくじを無作為に1本ずつ5回ひく。ただし、引いたくじは元にもどさない。
問題　5回中あたりくじをちょうど3回ひく確率を求めよ。
この問題の解説を見ると、
5回中あたりくじをちょうど3回ひくのが5Ｃ3*3!*7Ｐ2通りとあったのですが、7Ｐ2*5!/2!*3!ではだめなんでしょうか?
またどうして5Ｃ3*3!*7Ｐ2通りと表せられるのか教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２０１０／８／７
from=下野哲史

解説の中の答えの確率の分子を取り出しての話と推測して話を進めます。分母は 10P5 でよいのですね。
後で説明しますが、考え方によっては 10C5でも出来ますから、これを省略しないでほしかったです。

さて、なぜ分子が5Ｃ3*3!*7Ｐ2通りかということですが、
まず１０本のくじに名前をつけます。
1～3 が当たり
4～10 がはずれ
としましょう。

確率を求める事象が当たりが３本ですから
例えば 1-2-3-8-9 のような事象を考えればよいのですね。

これは、最初の３回が当たりとすると
3! × 7P2
となるところは大丈夫でしょうか？
質問は 5C3 にあると推測して話を進めます。
これは、今求めた 3! × 7P2 通りは
最初の３回が当たりであるときです。
１回目と３回目と５回目が当たりの場合もあるので、
当たりが出る回を５回の中から３カ所選ぶので
5C3 をかけます。
これをやる理由は、分母にあります。
分母は、10P5 通りとしているので、
1-2-3-8-9　と 1-2-8-9-3 を区別しているからです。
3! × 7P2 だけでは最初の３回が当たりと限定していますので、 5C3 が必要となるのです。
このくらいでいかがでしょうか？


さて、先に述べたように、分母を 10C5 と考えても出来ます。
というのも、結局５本いっぺんに引いてそのうち当たりが３本ある確率と考えても同じだからです。
その場合は、
( 3C3 × 7C2 ) / (10C5)
です。

どちらも 1/12 となります。
・・・ですよね？！汗