質問＜３２３６＞2006/6/8
from=鰯
「確率」

甲と乙が６回試合をして、試合ごとに勝者が１点を得る。
各試合で甲が乙に勝つ確率が２／３である。
甲が乙を常に１点以上リードしたまま６回の試合を終了する確率を求めよ。
よろしくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／６／１２
from=亀田馬志

＞甲と乙が６回試合をして、各試合で甲が乙に勝つ確率が２／３である。

取りあえず各々の試合に付いて｢引き分けは無い｣ものとして考えましょう。
これだけの情報で、甲の勝率の分布p(x)は、母数(パラメータ)p＝2/3の「二項分布」と
なります。
nからxを取る組み合わせをcombination(n,x)とすると、

p(x)＝combination(6,x)*(2/3)^x*(1/3)^(6－x)

となります。この結果を計算してみましょう。





甲が勝つ回数           確率


0 0.001371742


1 0.016460905


2 0.082304527


3 0.219478738


4 0.329218107


5 0.263374486


6 0.087791495




＞試合ごとに勝者が１点を得る。甲が乙を常に１点以上リードしたまま６回の試合を終了
する確率を求めよ。

上の確率分布表に甲と乙が得る得点を記入して行って見ましょう。ヘタに計算するより
その方がわかりやすいですから(笑)。




甲が勝つ回数           確率甲の得

点乙の得点


0 0.00137174206


1 0.01646090515


2 0.08230452724


3 0.21947873833


4 0.32921810742


5 0.26337448651


6 0.08779149560




一見して分かりますが、｢甲が乙を常に１点以上リードしたまま６回の試合を終了する｣
のは、甲が4回以上勝った条件なんですね。よって甲が4回以上勝つ確率を全て足し合わ
せたものが答えとなります。

解:68.03841％

お便り２００６／６／１２
from=亀田馬志

あ、ヤベえ。｢常に｣か(笑)。いきなり訂正です(笑)。僕っておっちょこちょいだから(笑)。

まあ、基本的には前送ったような考え方でイイです。どの道｢甲が3回以下で勝った場合｣は
｢甲が乙を常に1点以上リードしたまま｣って条件を満たさないので。
問題は｢甲が4回以上勝った場合に於いて｣ですね。

例えば、｢全試合で甲が4回勝った｣場合を考えてみましょう。
この中で、マズいのは、例えば、乙が初戦を勝ったケースです。これが｢甲が乙を常に1点
以上リード｣って条件を満たさないパターンですね。
このようなケースを次のような表にまとめてみました。

甲の勝ちパターンでマズいケース


1回戦2回戦3回戦4回戦5回戦6回戦


××○○○○


×○×○○○


×○○×○○


×○○○×○


×○○○○×


○××○○○


○×○×○○


○×○○×○


○×○○○×


○○××○○




ご覧のように、①乙が初戦を勝ったケース②乙が2戦目を勝ったケースがまずは、この
状態では｢甲が乙に常に1点以上リードしている｣って条件を満たしません。何故なら、
甲と乙がこの時点では｢同点｣だからです。
同様に、③乙が3戦目と4戦目連勝、のケースもマズいですね。3,4戦目連敗した時点で
甲と乙は同点になっちゃいます。

これらそれぞれが起こり得る確率は全て

{(2/3)^4}*{(1/3)^2}＝2.194787％

で、結果、

10×2.194787％＝21.94787％

の確率をまずは｢引かなければ｣なりません。

同様に、甲が5回勝つパターンの中でも、乙が初戦、または2戦目を勝つパターンでは条件
を満たさないのはすぐにお分かりになると思います。よって、

2×4.389575％＝8.77915％

の確率も引かなければなりませんね。
よって、正解は前回の答えから上の二つの確率を引いたものになります。

(解)68.03841％－21.94787％－8.77915％
∴37.31139％

ですね。失礼致しました。