質問＜３２３５＞2006/6/8
from=メルヘン
「数学Ⅰ」

１．グラフが次の条件を満たす放物線になるような二次関数を求めなさい。
(1)頂点が点(2,-4)で、原点を通る放物線。

(2)頂点が(-1,-6)で、点(2,12)を通る。


２．次の二次関数のグラフとx軸の共有点の個数を求めなさい。
(1)y=x2+4x-2
(2)y=9x2-6x+1
(3)y=2x2-5x-3
(4)y=3x2-4x+5

※「x2」は、xの二乗って意味です。

よろしくお願いします＞＜

★完全解答希望★

お便り２００６／６／１４
from=亀田馬志

頂点が(θ,δ)を通る二次関数は常に、係数をaとすれば

y－δ＝a*(x－θ)^2

と表記されます。これだけは公式ですので、暗記しておかなければなりません。
(1)の場合ですと、これだけの情報で、

y＋4＝a*(x－2)^2

(2)の場合ですと、

y＋6＝a*(x＋1)^2

です。ですからアトはaの値だけ求めればイイのです。
(1)だと｢原点(0,0)を通る｣との記述なんで、

0＋4＝a*(0－2)^2
∴a＝1
∴y＝(x－2)^2－4

となります。
(2)はご自分で解いてみてください。

＞２．次の二次関数のグラフとx軸の共有点の個数を求めなさい。
＞(1)y=x2+4x-2
＞(2)y=9x2-6x+1
＞(3)y=2x2-5x-3
＞(4)y=3x2-4x+5

フリー数式処理ソフトMAXIMA(ウィンドウズ版を利用して描画してみましょう。
まずはMAXIMAをダウンロードして下さい。
英語ですが、インストーラの指示に従ってインストールすると、
デスクトップ上にMAXIMAのアイコンが出来てる筈です。それをダブルクリックして
MAXIMAを立ち上げましょう。

Maxima 5.9.3 http://maxima.sourceforge.net
Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
This is a development version of Maxima. The function bug_report()
provides bug reporting information.
(%i1) 

と言った画面が現れれば起動成功です。
(%i1)と言うのは｢入力(inputその1)待ち｣と言った意味で、このアトにコマンドを入力して
MAXIMAに色々な作業をさせます。今回は描画なんで、描画コマンドを覚えましょう。
MAXIMAの描画コマンドは

plot2d(関数、[x,xの最小値,xの最大値]);

です。今回は例題として、

＞(1)y=x2+4x-2

の描画を取り上げます。
ところでメルヘンさんはご存知ないようですが、通常パソコン上では乗数を^と記述します。
また、×は*と表現するのです。
これを利用すると、描画コマンドを次のように(%i1)のアトにセミコロン(;)まで入力します。

(%i1) plot2d(x^2+4*x-2,[x,-10,10]);

アトはリターンキーを押せばOKです。グラフが出てきたでしょ?
今回はxの範囲を－10～10の範囲として[x,-10,10]としましたが、別にお好きな範囲で構い
ません。
そして(1)のグラフはx軸と共有点を持っていませんね?(つまり答えは0個です)

このようにして残りのグラフも描画してみて下さい。
一応全部のグラフを下に掲載しておきます。

(1)y=x2+4x-2


(2)y=9x2-6x+1


(3)y=2x2-5x-3


(4)y=3x2-4x+5