質問＜１２１６＞２００３／５／１７
{(x,y):0≦x≦1, 0≦y≦1}の正方形にｍ(十分大きな自然数)個の点を
無作為かつ独立に打つ。そのうち｛(x,y):x^2+y^2≦1｝の部分に打つ
確率を考えると、（ここでは円全体ではなく四分の一の扇型なので）
期待値がｍ×π/４となる。これにより、実際にコンピュータなどで
シュミレーションすると、(確率)/(m/4)からπの推定ができる。
この手の話はよく耳にすると思うのですが、これを拡張した話として
以下のようなものがあります。わからないので教えてください。
１、上記のπの推定方法を拡張して、三次元での半径１の球の体積４π/3
を推定するにはどうすればよいか？
２、さらにこれらの方法を拡張して、ｎ次元での半径１の球の体積を推定
するにはどうすればよいか？
…おそらく 超球体積＝π^(n/2) /Γ(n/2+1) を用いるのでしょうが、
これについては結果しか知らないのでよくわかりません。
この問題のおかげで安眠できません。どうかどうか教えてください。
お返事２００３／５／２６
from=M谷先生門下 秘路気
「パイと確率。そして超球…」
の質問させていただいたものです。
おかげさまで、
無事この問題は解決いたしました。
ポイントは
「(確率)/(m/4)からπの推定ができる」
というのを
πの推定でなく
二次元のときの超球の体積V(2)を
推定している
ということに気づくことでした。
（ちなみに
Ｖ(ｎ)＝半径１のｎ次元超球体積
で定義しています。）
二次元の話では
面積１の正方形の中の、
扇形（円の面積/４）
すなわちＶ(2)/２^2の
部分にプロットを打つ確率を
、
そして
三次元に拡張すれば
体積１の立方体のなかの
球の体積/８
すなわちV(3)/２^3
にプロットを打つ確率を
考えるということになります。
あるいは
一辺が２の正方形の中の
半径１の円
を考えても
確率は
円/正方形＝V(２)/２^2
で、
それを拡張した
一辺が２の立方体の中の
半径１の球
を考えても
やはり確率は
球/立方体＝V(３)/２^３
となります。
で、既述のどちらの方法でもよいですが、
（後に示した方法のほうがたぶん拡張を考えやすい）
これをｎ次元に拡張すると
確率＝V(n)/2^n
となります。
何次元になっても
一回の試行は、ベルヌーイ試行だから、
二項分布
b(ｍ,V(n)/2^n)
を考えればそれでいいということになります。
（ｍ＝プロット数）
それで
期待値＝ｍ＊（V(n)/2^n）
ですから、
n次元球の超体積の体積は
シュミレーションで求めた確率を
ｐ とすれば
V(n)＝ｐ/(m/2^n)
で推定できることになります。
ちなみに
半径１の超球体積＝π^(n/2) /Γ(n/2+1)
の式ですが、この問題を解く上では
これを知っている必要はないです。
ただ理論値としてこの値になるということを
知っていれば、
推定したときに確認できるということです。
二次元から五次元までの
超球体積をパソコンを用いて推定したところ
以下のようになりました。
左のVが理論値で、
右のEVがシュミレーションによる推定値です。
V EV
二次元 3.1415927 3.1404800
V EV
三次元 4.1887902 4.1750400
V EV
四次元 4.9348022 4.9337600
V EV
五次元 5.2637890 5.3004800
なお、理論値、
半径１の超球体積＝π^(n/2) /Γ(n/2+1)
ですが、
これは漸化式
Ｖ(n)/Ｖ(n-1)
=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)
=B(1/2,(n+1)/2)
(あるいは、Ｖ(n)/Ｖ(n-2)=2π/n )
によって求まります。
そしてこれは
質問＜１６４＞９９／８／１６
from=坂田「４次元的な球の体積」にある
「…加えていえば，ｎ次元球の体積と（ｎ＋１）次元球の体積には
何か関係式はあるのでしょうか？」
の答えに対応しているように思われます。
それでは失礼いたします。