質問＜２００６＞２００４／１０／１４
「サイコロを繰り返し振る試行を行う。x回目とx＋1回目に出た目の和が８に なったとき，この試行を終了するものとする。 Ｎ回目でこの試行が終了するとしたとき，Ｎの期待値を求めなさい。 ただし，サイコロの目（１～６）の出る確率は同様に確からしいものとする。」 という問題なのですが，さっぱり分かりません。 漸化式などを用いるのでしょうか？ あと，この問題の場合，目の和Ｍ（２≦Ｍ≦12）について， 期待値Ｅ(Ｎ，Ｍ）を一般化することはできるでしょうか？ ★希望★完全解答★
お便り２００４／１０／１９
from=juin
n回目に出たさいころの目をAnとする。 P(N=1)=0,P(N=2)=P(A1+A2=8)=5/36 P(N=3)=P(N≧3)P(A2+A3=8:N≧3)=(1-P(N=2))(5/36) 以下P(N=n)=p(n)と書く。 p(n)=(1-p1-p2-...p(n-1))(5/36) ここで、sn=p2+p3+...+pnとする。上の式は sn-s(n-1)=(1-s(n-1))(5/36)となる。tn=(sn)-1とすると、 tn-t(n-1)=-t(n-1)(5/36) tn=t(n-1)(31/36) ,t2=s2-1=p2-1=-31/36 tn=-(31/36)(31/36)^(n-2) sn=1+tn=1-(31/36)^(n-1) pn=sn-s(n-1)=[1-(31/36)^(n-1)]-[1-(31/36)^(n-2)] =(31/36)^(n-2)-(31/36)^(n-1) n=2のとき5/36だから、この式はn≧2で成り立つ。 期待値はΣn*pn=Σn*[(31/36)^(n-2)-(31/36)^(n-1)] 2からnまでの部分和を計算する.r=31/36とする。 2-2r+3r-3r^2+4r^2-4r^3+5r^3-5r^4+...+nr^(n-2)-nr^(n-1) =2+r+r^2+r^3+r^4+...+r^(n-2)-nr^(n-1) =1+(1-r^(n-1))/(1-r)-nr^(n-1) ->1+1/(1-r) as n-> ∞ 期待値は1+1/(1-31/36)=1+36/5=41/5
お便り２００４／１０／２０
from=feel well
juinさんから解答をいただきましたが，Ｎ＝３のとき成り立っていないようです。 Ｐ(3)＝25/36になるはずです。 この問題の意図は，ちょうどＮ回目で終わる確率であり， 例えば，２→６→２の順に出た場合，確かに３回目の時点で終了することになる のですが，この場合，２→６で既に終了しているので，このような場合は含まれ ないことになります。そうなると，結構複雑です。 もう一度再考をお願いします。 （※言い回しを若干変更しました。………管理人）
お便り２００４／１０／２２
from=UnderBird
途中から失礼します。 free wellさんの ＞Ｐ(3)＝25/36になるはずです。 は、P(3)=25/216の誤りではありませんか？ 終了した後のさいころを振らないということをどのように捉えるか、 微妙なので私もぜひ、はっきりさせたいと思い、質問させていただきました。 P(3)=25/216の根拠は、 まず、３回目で終わるのは 1-2-6,1-3-5,1-4-4,1-5-3,1-6-2,2-2-6,2-3-5,2-4-4,2-5-3,3-2-6,3-3-5, 3-4-4,3-6-2,4-2-6,4-3-5,4-5-3,4-6-2,5-2-6,5-4-4,5-5-3,5-6-2,6-3-5, 6-4-4,6-5-3,6-6-2 の２５通りあること。 各確率は、(1/6)^3=1/216ですよね。 ２回目で終わろうが終わらなかろうが、これらの確率はこのように考えるのではない かと感じます。 しかし、freewellさんの言われる、2-6となれば３回目はさいころを振らないから、 さいころを３回目まで振る場合の数は6^3=216ではないという考えも一方でありま す。 まず、この点をどのように解釈すべきなのかそれぞれの方の考えを整理していただけ るとありがたいです。
お便り２００４／１１／２
from=juin
n回目に出たさいころの目をAnとする。
P(N=1)=0,P(N=2)=P(A1+A2=8)=5/36
P(N=3)=P(N≧2)ΣP(A2=k)P(A1+A2?≠8,A2+A3=8:A2=k)
=P(N≧2)ΣP(A2=k)P(A1+A2≠8:A2=k)P(A2+A3=8:A2=k)
=25/216
以下P(N=n)=p(n)と書く。
p(n+1)=(1-p(2)-p(3)-...-p(n-1))ΣP(An=k)P(A(n-1)+An≠8:An=k)P(An+A(n+1)=8:An=k)
ここで、s(n)=p(2)+p(3)+...+p(n)とする。上の式は
s(n+1)-s(n)=(1-s(n-1))(25/216)となる。t(n)=s(n)-1,r=25/216とすると、
t(n+1)-t(n)=-t(n-1)r
t(n+1)-t(n)+rt(n-1)=0
特性方程式x^2-x+r=0を解くと、α=(1-√(1-4r))/2,β=(1+√(1-4r))/2となる。
一般解はt(n)=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1)と書ける。t(n)は実数だからA=B
t(2)=s(2)-1=25/216-1=r-1=A(α+β)=A(1)
A=r-1よって、t(n)=(r-1)(α^(n-1)+β^(n-1))
s(n)=t(n)+1=(r-1)(α^(n-1)+β^(n-1))+1
p(n)=s(n)-s(n-1)=(r-1)(α^(n-1)+β^(n-1)-(r-1)(α^(n-2)+β^(n-2))
期待値はΣn*p(n)だから
Σn*{(r-1){(α^(n-1)+β^(n-1))-(α^(n-2)+β^(n-2))}
(1)Σn*{α^(n-1)-α^(n-2)}=-1-1/(1-α)
(2)Σn*{β^(n-1)-β^(n-2)}=-1-1/(1-β)
(3)期待値EN=(r-1)(-1-1/(1-α)-1-1/(1-β))
=(r-1)(-2-(2-α-β)/(1-β)(1-α))
=(r-1)(-2-1/r)
となる。
r=25/216を代入すると、EN=36481/2700