質問＜６７７＞２００１／１０／１７
from=忘れな草
「期待値」

１からｎ（ｎ≧２）までの番号のついたｎ枚のカードが１つの袋の中に
入っている。この袋から２枚のカードを同時に取り出して大きい方の数
字をＸとする。このときＸの期待値Ｅ（Ｘ）を求めよ。

お返事２００１／１１／６
from=武田

カードが
ｎ＝４として、調べてみると、

全て書き出してみると、
（１，２）（１，３）（１，４）
（２，３）（２，４）
（３，４）
全ての場合は、4Ｃ2＝６通り
大きい方の数字を選んで、
Ｘ＝４のとき、３通り
Ｘ＝３のとき、２通り
Ｘ＝２のとき、１通り
Ｘ＝１のとき、０通り
期待値Ｅ（Ｘ）は、
　　　　　　　３　　　２　　　１　　　　　２０　１０
Ｅ（Ｘ）＝４・―＋３・―＋２・―＋１・０＝――＝――≒３．３３
　　　　　　　６　　　６　　　６　　　　　　６　　３

カードが、ｎ枚の時を考える。
　　　ｎ（ｎ－１）
nＣ2＝――――――
　　　　　２

　　　　　　　　（ｎ－１）　　　　　　　　　　（ｎ－２）
Ｅ（Ｘ）＝ｎ・――――――――＋（ｎ－１）・――――――――＋………
　　　　　　　　ｎ（ｎ－１）　　　　　　　　　ｎ（ｎ－１）
　　　　　　　　――――――　　　　　　　　　――――――
　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　　　２

　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　………＋２・――――――――＋１・０
　　　　　　　　　　　　ｎ（ｎ－１）
　　　　　　　　　　　　――――――
　　　　　　　　　　　　　　２

　　　　　　　２　　　　ｎ
　　　　＝――――――・Σ　ｋ（ｋ－１）
　　　　　ｎ（ｎ－１）　k=1

　　　　　　　２　　　　ｎ
　　　　＝――――――・Σ（ｋ2－ｋ）
　　　　　ｎ（ｎ－１）　k=1

　　　　　　　２　　　　　ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）　ｎ（ｎ＋１）
　　　　＝――――――・｛――――――――――――－――――――｝
　　　　　ｎ（ｎ－１）　　　　　　　６　　　　　　　　　２

　　　　　　　２　　　　ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１－３）
　　　　＝――――――・――――――――――――――
　　　　　ｎ（ｎ－１）　　　　　　６

　　　　　（ｎ＋１）（２ｎ－２）　２
　　　　＝―――――――――――＝―（ｎ＋１）………（答）
　　　　　　　３（ｎ－１）　　　　３