質問

７つのカード○○△△×××を１列に並べるとする。
①×が２枚以上連続して並ばない並べかたのうち、
　最初が×である並べ方は何通りか？
②×が２枚以上連続して並ばない並べ方は何通りか？
③同じカードが２枚以上連続して並ばない並べ方は何通りか？

今日の夜中までに分かれば幸いです。全解説お願いします

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／１４
from=／で

１）
左を先頭として「×が一番左である並べ方」ということで解答します。
×が一番左で、×が２枚以上連続しないパターンを書き出すと

　１２３４５６７
　×□×□×□□　　‥‥‥(1)
　×□×□□×□　　‥‥‥(2)
　×□×□□□×　　‥‥‥(3)
　×□□×□×□　　‥‥‥(4)
　×□□×□□×　　‥‥‥(5)
　×□□□×□×　　‥‥‥(6)

の６パターン。　（□ ＝ ○ or △）

※計算で求めるなら、左から１，２番目が×□ですから、３番目から７番目
　までの５箇所から×の場所として２箇所を選ぶ選び方（＝5Ｃ2）から、
　×が連続する並び方、つまり××をひとつのかたまりＡとして考え、４箇所から
　Ａの場所として１箇所を選ぶ選び方（＝4Ｃ１）を引く。
　　　5Ｃ2 － 4Ｃ１ ＝ 10 － 4 ＝ ６通り

この６通りのそれぞれに対して、４箇所の□に○○△△を並べる並べ方が
４！／（２！・２！）＝６通りあるので、掛け合わせて、
　６×６＝３６通り　（答え）

２）
×が一番左にくる場合で連続しないのは、１）で３６通りとわかっているので、
　　×が２番目に初めてくる場合
　　×が３番目に初めてくる場合
を書き出してみます。
×が４番目に以降に初めてくるときは必ず２枚以上連続してしまいますから、
この２パターンを書き出して追加すればよいです。

　１２３４５６７
　□×□×□×□　　‥‥‥(7)
　□×□×□□×　　‥‥‥(8)
　□×□□×□×　　‥‥‥(9)
　□□×□×□×　　‥‥‥(10)

この４通りそれぞれに対して○○△△の並べ方が６通りですから、４×６＝２４通りを
３６通りに加えて、よって×が２枚以上連続しないのは、６０通り　（答え）

３）
１）２）で書き出した１０通りのパターンを利用します。
□の並び方が、１個、１個、２個並びのパターン｛(1)(2)(4)(8)(9)(10)｝の６通り
に対して
○、△がそれぞれ連続しない並び方は、
　×○×△×○△
　×○×△×△○
　×△×○×○△
　×△×○×△○　　の４（＝２×２）通りあります。よって６×４＝２４通り
□の並び方が、１個、３個並びのパターン｛(3)(6)｝の２通りに対しては、
　×○×△○△×
　×△×○△○×　　の２通り。よって２×２＝４通り
□の並び方が、２個並びが２つのパターン｛(5)｝の１通りに対しては、
　×○△×○△×
　×○△×△○×
　×△○×○△×
　×△○×△○×　　の４（＝２×２）通り。よって１×４＝４通り
□の並び方が、１個が４つ(２個以上連続しない)パターン｛(7)｝の１通りに対しては、
　○×○×△×△
　○×△×○×△
　○×△×△×○
　△×○×○×△
　△×○×△×○
　△×△×○×○　　の６（＝4Ｃ2）通り。よって１×６＝６通り

よって同じカードが連続して並ばないのは、２４＋４＋４＋６＝３８通り　（答え）

３）別解
　【同じカードが２枚以上連続しない並び方】
＝【すべての並び方(１)】－【○△×の少なくとも１つが２枚以上連続する並び方(※２)】

※１＝７！／（２！・２！・３！）＝２１０通り

　三つの領域のベン図から、
※２＝【○が連続する並び方（※３）】＋【△が連続する並び方（※４）】
　　＋【×が２枚以上連続する並び方（※５）】
　　－【○が連続し、かつ△が連続する並び方（※６）】
　　－【○が連続し、かつ×が２枚以上連続する並び方（※７）】
　　－【△が連続し、かつ×が２枚以上連続する並び方（※８）】
　　＋【○が連続し、かつ△が連続し、かつ×が２枚以上連続する並び方（※９）】

※３　○○をひとかたまりのカードＡとすると、Ａ△△×××の６枚の並び方は
　　　６！／（２！・３！）＝６０通り

※４　※３同様で、６０通り

※５　××をひとかたまりのカードＢとすると、Ｂ○○△△×の６枚の並び方は
　　　６！／（２！・２！）＝１８０通り。
　　　ところが、Ｂ× と ×Ｂ は同じ ××× で重複しているので、×××をＣとした
　　　Ｃ○○△△の５枚の並び方＝５！／（２！・２！）＝３０通りを引き、１５０通り

※６　○○をＡ、△△をＢとした、ＡＢ×××の並び方＝５！／３！＝２０通り

※７　○○をＡ、××をＢとした、ＡＢ△△×の並び方＝５！／２！＝６０通りから
　　　重複するＢ×、×Ｂ（＝×××）の数＝４！／２！＝１２を引いて４８通り

※８　※７同様で、４８通り

※９　(○○)(△△)(××)の順列から３×２＝６通り。
　　　この６通りのそれぞれに対して、残りの×の置ける場所が３箇所あるので、
　　　６×３＝１８通り

よって、＝２１０－（６０＋６０＋１５０－２０－４８－４８＋１８）＝３８通り