質問＜２６１６＞２００５／１０／１０
from=ＹＵＫＩ
「確率と期待値」

１辺の長さが１の立方体の８個の頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈが
図のような位置関係にあるとする。この８個の頂点から相異なる３点を選び、
それらを頂点とする三角形をつくる。

(1)三角形は全部で［　］個できる。また、お互いに合同でない三角形は
　　全部で［　］種類ある。

(2)△ＡＢＣと合同になる確率は［　］であり、また、正三角形にねる確率は
　　［　］である。

(3)三角形の面積の期待値は［　］である。

［　］を求めなさい。

どうしても、分からないので教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／８
from=けんさん

①三角形は全部で8C3＝56個
　種類は1,1,√2と√2,√2,√2と1,√2,√3の3種類です。

②1,1,√2は各頂点に3つずつですから24／56、正三角形は8／56、
　1,√2,√3（これが一番数えづらい？）は残り56－8－24＝24個
　なので24／56です。
　△ABCと合同になるのは24／56＝3／7,
　正三角形になるのは24／56＝１／7となります。

③1,1,√2の面積は1／2、√2,√2,√2の面積は√3／2、
　1,√2,√3の面積は√2／2です。
　上記より面積の期待値は　
　1／2×3／7＋√3／2×1／7＋√2／2×3／7＝（7+√3+3√2）／14
　となる。