質問

こんにちわ。ご無沙汰してます，ぷりんです。
質問させてください。確率についてです。

Ｑ，３個のサイコロを同時に投げるとき出る目の和が９になる確率を
　　求めよ。

Ｑ，サイコロをｎ回投げるときｋ回目に出る目の数をＸｋとし、Ｙｎを
　　Ｘ１．Ｘ２．Ｘ３．.............．Ｘｎの積とする。
　　Ｙｎが３の倍数であるが１５の倍数ではない確率を求めよ。

お返事２０００／１２／２４
from=武田

問１
３個のサイコロの目の和が９になるのは、次の場合で、その場合の数は、
１＋２＋６　₃Ｐ₃＝３！＝６通り
１＋３＋５　₃Ｐ₃＝３！＝６通り
１＋４＋４　３！／（１！２！）＝３通り
２＋２＋５　３！／（１！２！）＝３通り
２＋３＋４　₃Ｐ₃＝３！＝６通り
３＋３＋３　１通り
したがって、
ｎ（Ａ）＝６＋６＋３＋３＋６＋１＝２５通り
ｎ（Ｕ）＝６×６×６＝２１６通り
　　　　　　　２５
∴Ｐ（Ａ）＝───　……（答）
　　　　　　２１６

問２
樹形図を書いて、積が３の倍数で、１５の倍数でない場合を書き出すと、
　　　　　　　　　　　　　２　１
ｎ＝１のとき、Ｐ（Ｙ₁）＝─＝─
　　　　　　　　　　　　　６　３


ｎ＝２のとき、
１＊３　₂Ｐ₂＝２！＝２通り
１＊６　₂Ｐ₂＝２！＝２通り
２＊３　₂Ｐ₂＝２！＝２通り
２＊６　₂Ｐ₂＝２！＝２通り
３＊３　１通り
３＊４　₂Ｐ₂＝２！＝２通り
３＊６　₂Ｐ₂＝２！＝２通り
４＊６　₂Ｐ₂＝２！＝２通り
６＊６　１通り
したがって、
２×７＋１×２＝１６通り
　　　　　　１６　４
Ｐ（Ｙ₂）＝──＝─
　　　　　　３６　９

ｎ＝３のとき、
全部書きだして数えると、確率は
　　　　　　　９８　　４９
Ｐ（Ｙ₃）＝───＝───
　　　　　　２１６　１０８

以上の計算をする中で、分析をすると、
ｎ＝２のとき、
　　　３　　２　　　　　２　　　１２＋４　１６　４
2Ｃ1（─）（─）＋2Ｃ2（─）²＝────＝──＝─
　　　６　　６　　　　　６　　　　３６　　３６　９

ｎ＝３のとき、
　　　３　　　２　　　　　３　　２　　　　　　２
3Ｃ1（─）²（─）＋3Ｃ2（─）（─）²＋3Ｃ3（─）³
　　　６　　　６　　　　　６　　６　　　　　　６

　５４＋３６＋８　　９８　　４９
＝───────＝───＝───
　　　２１６　　　２１６　１０８

この２つから、二項定理で表現すると、
ｎ＝２のとき、
　　３　　　２　　　　　３　　　　５　　　３　　　２５－９　１６　４
｛（─）＋（─）｝²－（─）²＝（─）²－（─）²＝────＝──＝─
　　６　　　６　　　　　６　　　　６　　　６　　　　３６　　３６　９
^^^^^^^^^^^^^^^^^^　　　　　　　~~~~~~~~~~~~
　　二項定理　　　　　　　　　　　ここに注目

ｎ＝３のときも同様にして、
　５　　　　３　　　１２５－２７　　９８　　４９
（─）³－（─）³＝──────＝───＝───
　６　　　　６　　　　２１６　　　２１６　１０８

以上から類推して、
　　　　　　　５　　　 ３
Ｐ（Ｙ_n）＝（─）ⁿ－（─）ⁿ　……（答）
　　　　　　　６　　　 ６

（別解）
上の解法だと、すべてのｎについて言えるかどうか確認が出来ないので、
以前勉強した「漸化式」で解いてみよう。

そのため、２つの場合に分けて考える。
Ｐｎ　・・・　ｎ個の積の中に、少なくとも一つは３の倍数が入る確率
Ｑｎ　・・・　ｎ個の積の中に、全く３の倍数が入らない確率
もちろん、どちらも、ｎ個の積の中に、５の倍数は入らないとする。
｛　　　　　　　５　　　　２
｛Ｐn+1 ＝Ｐｎ・─＋Ｑｎ・─
｛　　　　　　　６　　　　６
｛
｛　　　　　　　　　　　　３
｛Ｑn+1 ＝Ｐｎ・０＋Ｑｎ・─
｛　　　　　　　　　　　　６
この漸化式を行列で表現して、
（Ｐn+1 ）　（５／６　２／６）（Ｐｎ）
（　　　）＝（　　　　　　　）（　　）
（Ｑn+1 ）　（　０　　３／６）（Ｑｎ）

　　　　（５／６　２／６）　　　　　　　　　　　　５　　　３
行列Ａ＝（　　　　　　　）の固有値を計算して、α＝─，β＝─
　　　　（　０　　３／６）　　　　　　　　　　　　６　　　６
固有値から
　　　　（１　　１）　　　　　（－１　－１）　（１　　１）
行列Ｂ＝（　　　　），Ｂ^-1＝－（　　　　　）＝（　　　　）
　　　　（０　－１）　　　　　（　０　　１）　（０　－１）
したがって、
　　　　　（５／６　　０　）
Ｂ^-1ＡＢ＝（　　　　　　　）より、
　　　　　（　０　　３／６）
両辺をｎ乗して、
　　　　　　（（５／６）ⁿ　　０　）
Ｂ^-1ＡⁿＢ＝（　　　　　　　　　　）
　　　　　　（　０　　（３／６）ⁿ）

　　　（１　　１）（（５／６）ⁿ　　０　）（１　　１）
Ａⁿ＝（　　　　）（　　　　　　　　　　）（　　　　）
　　　（０　－１）（　０　　（３／６）ⁿ）（０　－１）

　　　（（５／６）ⁿ　（５／６）ⁿ－（３／６）ⁿ）
　　＝（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）
　　　（　　０　　　　　　　　　（３／６）ⁿ　　）

（Ｐn+1 ）　（５／６　２／６）（Ｐｎ）　（５／６　２／６）ⁿ（Ｐ１）
（　　　）＝（　　　　　　　）（　　）＝（　　　　　　　）・（　　）
（Ｑn+1 ）　（　０　　３／６）（Ｑｎ）　（　０　　３／６）　（Ｑ１）

　　　　　　（（５／６）ⁿ　（５／６）ⁿ－（３／６）ⁿ）（２／６）
　　　　　＝（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）（　　　）
　　　　　　（　　０　　　　　　　　　（３／６）ⁿ　　）（３／６）

　　　　　　（（５／６）ⁿ・（２／６）＋｛（５／６）ⁿ－（３／６）ⁿ｝・（３／６））
　　　　　＝（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）
　　　　　　（　　　　　　　　　　　（３／６）ⁿ・（３／６）　　　　　　　　　　）

したがって、
Ｐn+1＝（５／６）ⁿ・（２／６）＋｛（５／６）ⁿ－（３／６）ⁿ｝・（３／６）
　　　＝（５／６）ⁿ・（２／６＋３／６）－（３／６）ⁿ⁺¹
　　　＝（５／６）ⁿ⁺¹－（３／６）ⁿ⁺¹

∴Ｐｎ＝（５／６）ⁿ－（３／６）ⁿ　……（答）

お便り２００１／１／３
from=ぷりん

あけましておめでとうございます。ぷりんです。今年も質問させてください。

Ｑ，サイコロをｎ回投げるときｋ回目に出る目の数をＸｋとし、Ｙｎを
　　Ｘ１．Ｘ２．Ｘ３．.............．Ｘｎの積とする。Ｙｎが３の
　　倍数であるが、１５の倍数ではない確率を求めよ。

これはこの前質問した問題ですが，私は公立高校で進度が速くないため，
まだ二項定理や漸化式を習っていないので解答を読んでも分かりません。
他に解く方法はありませんか？

お返事２００１／１／３
from=武田

上の解答に独りよがりで満足していたところ、再度質問があり、自分の
解答に対して、反省した次第です。

二項定理や漸化式を使わないで解くとなると、習う前の高校生が知って
いる知識で考えなくてはなりません。

そこで思いついたのが、「少なくとも１つ」の解法です。
積が３の倍数となるのは、ｎ個の積の中に少なくとも１つ３の倍数（３
と６）が入っている必要があるので、「少なくとも１つ」の解法が使え
ます。
普通は１から否定の「全部３の倍数でない」を引くと良いわけですが、
１５の倍数を除くことになるので、「５」を省きますから、５／６から
引くことになります。全部３の倍数でないは、当然５も除きますから、
１と２と４のサイコロの目の確率３／６となります。
ｎ個の積より、
　５　　　　３
（─）ⁿ－（─）ⁿ　……（答）
　６　　　　６

いやはや簡単でしたね。