質問＜９３９＞２００２／８／３０
from=Ｓ．Ｋ
「カップル成立の確率」

n人の男性とn人の女性がいます。一斉に異性を1人ずつ
指名するとき、i組のカップルが出来る確率Pi、および
平均何組のカップルが出来るかという期待値、nを無限大
にした極限を求めたいです。
よろしくお願いします。

お便り２００２／９／２４
from=juin

男性をm1,m2,...,mn,女性をf1,f2,...fnとする。
(mi,fj)というカップルができる確率は
miがfjを選び(1/n)かつfjがmiを選ぶ(1/n)から
(1/n^2)
確率変数X(i,j)を次のように決める。
X(i,j)=1((mi,fj)というカップルができる)
X(i,j)=0((mi,fj)というカップルができない)
このとき確率は、
P(X(i,j)=1)=1/n^2,P(X(i,j)=0)=1-1/n^2である。

１回の指名で合計S=ΣX(i,j)のカップルができる。
（最低０から最大n)
P(S=1),P(S=2)など具体的な値は複雑なのでまだ計算できません。
代わりに、平均を求めます。
ES=EΣX(i,j)=ΣEX(i,j)   
ここで、EX(i,j)=1×1/n^2+0×(1-1/n^2)=1/n^2だから、
ES=Σ1/n^2=n^2×(1/n^2)=1
つまり、
１回の指名で平均１つのカップルができる。
これは、nに無関係。