質問＜２４８８＞２００５／７／２４
from=なおひ
「大学の確率論の問題です。」

（Ωｉ，Ｆｉ，Ｐｉ）（ｉ＝1，2）を下記の条件を満たす確率空間とする。
Ω1＝｛ａ，ｂ｝，Ｆ1＝２＾Ω1，Ｐ1（｛ａ｝）＝ｐ，Ｐ1（｛ｂ｝）＝ｑ
Ω2＝｛ｘ，ｙ｝，Ｆ2＝２＾Ω2，Ｐ2（｛ｘ｝）＝ｐ，Ｐ1（｛ｙ｝）＝ｑ
ｐ＞0，ｑ＞0，ｐ+ｑ＝1
この時
（１）Ω＝Ω1×Ω2の要素を書き上げよ。
（２）Ｆ＝２＾Ω1×Ω2の要素を書き上げよ。
（３）
Ｐ（｛ω1，ω2｝）＝Ｐ1（｛ω1｝）Ｐ2（｛ω2｝）
ωi∈Ωi（ｉ＝1，2）
Ｐ（Φ）＝0
とするとき
（Ω，Ｆ，Ｐ）は確率空間であることを示せ。
（４）
Ａi∈Ｆi（i＝1，2）とするとき
Ｅ＝Ａi×Ω2，Ｆ＝Ω1×Ａ2とおくと
Ｅ，Ｆは（Ω，Ｆ，Ｐ）の独立事象であることを示せ。

という問題です。（１）（２）はわかりました。
（３）はどういうふうに示せばよいかわかりません。
（４）は一応自力で解きましたが、自信がありません。

（３）（４）の解答を申し訳ございませんが、教えてください。
宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／８／８
from=Anonymous Coward

(3) 確率の公理を満たしていることを示せばよい。
(4) あなたの解答を示してください。

お便り２００５／８／１１
from=なおひ

一応（３）と（４）の解答です。あってますか？

（３）
確率空間（Ω1，Ｆ1，Ｐ1）：
Ω1＝｛ａ，ｂ｝，Ｆ1＝２＾Ω1，
Ｐ1（｛ａ｝）＝ｐ，Ｐ1（｛ｂ｝）＝ｑ　
ｐ＞0，ｑ＞0，ｐ+ｑ＝1

確率空間（Ω2，Ｆ2，Ｐ2）：
Ω2＝｛ｘ，ｙ｝，Ｆ2＝２＾Ω2，
Ｐ2（｛ｘ｝）＝ｐ，Ｐ1（｛ｙ｝）＝ｑ　
ｐ＞0，ｑ＞0，ｐ+ｑ＝1

以上より標本空間は
Ω＝Ω1×Ω2＝｛（ω1，ω2）｝｜ω1∈Ω1，ω2∈Ω2｝
Ｆ＝Ｆ1×Ｆ2＝２＾Ω1×Ω2＝２＾Ω
となる。

Ｐ（｛（ω1，ω2）｝）＝Ｐ1（｛ω1｝）Ｐ2（｛ω2｝）
｛（ω1，ω2）｝∈Ｆ1×Ｆ2＝Ｆ
Ｐ（Ａ）＝Σ（ω1，ω2）∈Ａ　Ｐ（｛（ω1，ω2）｝），
Ａ∈Ｆ，Ｐ（Φ）＝０

確率であることを示すには
Σω1，ω2　Ｐ（｛（ω1，ω2）｝）＝１であることを示す。
Σω1，ω2　Ｐ（｛（ω1，ω2）｝）＝Σω1，ω2　Ｐ1（｛ω1｝）Ｐ2（｛ω2｝）
Σω1　Ｐ1（｛ω1｝）×Σω2　Ｐ2（｛ω2｝）＝１×１＝１
（∵ｐ＞0，ｑ＞0，ｐ+ｑ＝1）

∴（Ω，Ｆ，Ｐ）は確率空間である。

（４）
Ｅ，Ｆは独立事象であることを示すためには、
Ｐ（Ｅ∩Ｆ）＝Ｐ（Ｅ）Ｐ（Ｆ）であることを示せばよい。
Ｅ∩Ｆ＝（Ａ1×Ω2）×（Ω1×Ａ2）＝Ａ1×Ａ2
したがってＰ（Ｅ∩Ｆ）＝Ｐ（Ａ1∩Ａ2）＝Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ａ2）
一方、
Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ａ1×Ω2）＝Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ω2）＝Ｐ（Ａ1）
Ｐ（Ｆ）＝Ｐ（Ω1×Ａ2）＝Ｐ（Ω1）Ｐ（Ａ2）＝Ｐ（Ａ2）

以上より、Ｐ（Ｅ∩Ｆ）＝Ｐ（Ｅ）Ｐ（Ｆ）

∴Ｅ、Ｆは独立事象である。

これであっているのでしょうか？？？

お便り２００６／１／１６
from=C.A.

多分、あなたの大学の TA に質問した方が早いと思います。