質問＜４１９＞２００１／３／１０
サイコロをｎ回投げて、ｘｙ平面上の点Ｐ0、Ｐ1、・・・、
Ｐｎを次の規則(ａ）、(ｂ）によって定める。
(ａ）Ｐ0＝(０，０)
(ｂ）１≦ｋ≦ｎのとき、ｋ回目に出た目の数が、
１，２，３，４のときには、Ｐk-1をそれぞれ東、北、
西、南に(1/2）^kだけ動かした点をＰkとする。
また、ｋ回目に出た目の数が５，６のときには、
Ｐk＝Ｐk-1とする。ただし、ｙ軸の正の向きを北と定める。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1）Ｐnがｘ軸上にあれば、Ｐ0、Ｐ1、・・・、Ｐn-1も
すべてｘ軸上にあることを示せ。
(2）Ｐnが第1象限{(x，y）│ｘ＞０、ｙ＞０}にある
確率をｎで表せ。
お返事２００１／３／１１
from=武田
問１ ＿ ＿ ｐ→∀ｑの証明を、その対偶である∃ｑ→ｐとして、証明する。 つまり、 「あるＰkがｘ軸上になければ、Ｐnはｘ軸上にない。ただし、0≦k＜n」 を証明するわけである。 １ Ｐk がｘ軸上にないから、ｘ軸から（─）k 離れていることになる。 ２ １ １ １ １ １ １＋─＋（─）2 ＋（─）3 ＋（─）4 ＋……＝──────＝２ ２ ２ ２ ２ １ １－─ ２ より、 ∞ １ Σ （─）m ＝２－１＝１ m=1 ２ ∞ １ １ １ Σ （─）m ＝１－─＝─ m=2 ２ ２ ２ ∞ １ １ １ １ １ Σ （─）m ＝─－（─）2 ＝──＝（──）2 m=3 ２ ２ ２ ４ ２ したがって、 １ ∞ １ （─）k ＝Σ （──）m ２ m=k+1 ２ Ｐkの次から、最小回数でも無限個加えなくてはｘ軸に戻らないから、 Ｐnはｘ軸上にはないことが言える。 証明完了 問２ サイコロ１回目は軸上にあるから、２回目から考える。 また、ｘ軸とｙ軸は同様なので、ｙ軸の方のみ考えて、２倍する。 計算は、次の場合に初めて第１象限に出るとして考える。 ｎ＝２の場合 １ １ １ ２ 北→東より、─×─＝── ∴ｐ（２）＝── ６ ６ ３６ ３６ ｎ＝３の場合 １ ２ １ ２ 北→休み→東より、─×─×─＝─── ６ ６ ６ ２１６ ２ １ １ ２ 休み→北→東より、─×─×─＝─── ６ ６ ６ ２１６ １ １ １ １ 北→北→東より、 ─×─×─＝─── ６ ６ ６ ２１６ １ １ １ １ 北→南→東より、 ─×─×─＝─── ６ ６ ６ ２１６ １２ ∴ｐ（３）＝─── ２１６ ｎ＝４の場合 １ ２ ２ １ ４ 北→休み→休み→東より、─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ ２ １ ２ １ ４ 休み→北→休み→東より、─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ ２ ２ １ １ ４ 休み→休み→北→東より、─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ １ ２ １ １ ２ 北→休み→北→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ １ ２ １ １ ２ 北→休み→南→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ １ １ ２ １ ２ 北→北→休み→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ １ １ ２ １ ２ 北→南→休み→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ ２ １ １ １ ２ 休み→北→北→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ ２ １ １ １ ２ 休み→北→南→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ １ １ １ １ １ 北→北→北→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ １ １ １ １ １ 北→北→南→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ １ １ １ １ １ 北→南→北→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ １ １ １ １ １ 北→南→南→東より、 ─×─×─×─＝──── ６ ６ ６ ６ １２９６ ５６ ∴ｐ（４）＝──── １２９６ 以上をまとめると、 １ １ ２ ｐ（２）＝２×─×─＝── ６ ６ ３６ １ ２ １ １２ ｐ（３）＝２×｛2 Ｃ1 ＋2 Ｃ0 ｝×─×─×─＝─── ６ ６ ６ ２１６ １ ２ １ ５６ ｐ（４）＝２×｛3 Ｃ2 ＋3 Ｃ1 ＋3 Ｃ0 ｝×──×（──）2 ×─＝──── ６ ６ ６ １２９６ したがって、 １ ２ １ ｐ（ｎ）＝２×｛n-1Ｃn-2＋n-1Ｃn-3＋……＋n-1Ｃ0 ｝×──×（──）n-2×── ６ ６ ６ （ｘ＋１）n-1＝ｘn-1＋n-1Ｃn-2ｘn-2＋n-1Ｃn-3ｘn-3＋……＋n-1Ｃ0 ｘ0より、ｘ＝１とおくと、 ２n-1 ＝１＋n-1Ｃn-2＋n-1Ｃn-3＋……＋n-1Ｃ0 より、 n-1Ｃn-2＋n-1Ｃn-3＋……＋n-1Ｃ0 ＝２n-1 －１ これを代入して、 １ ２ １ ｐ（ｎ）＝２×（２n-1 －１）×──×（──）n-2 ×── ６ ６ ６ ２n-1 （２n-1 －１） ＝──────── ６n ２2n-2－２n-1 ＝────── ６n １ ２ １ １ ＝─・（─）n －─・（─）n ……① ４ ３ ２ ３ したがって、Ｐnが第１象限にあるのは、ｎが２からｎまでの場合の和 であるから、①より Ｐ（ｎ）＝ｐ（１）＋ｐ（２）＋ｐ（３）＋……＋ｐ（ｎ） ｎ ＝Σ ｐ（ｋ） k=1 ｎ ２ ２ １ １ ＝Σ ｛───・（──）k-1 －─・（─）k-1 ｝ k=1 １２ ３ ６ ３ １ ２ １ １ ─｛１－（─）n ｝ ─｛１－（─）n ｝ ６ ３ ６ ３ ＝──────── －──────── ２ １ １－─ １－─ ３ ３ １ ２ １ １ ＝─｛１－（─）n ｝ －─｛１－（─）n ｝ ２ ３ ４ ３ １ １ ２ １ １ １ ＝─－─（─）n －─＋─（─）n ２ ２ ３ ４ ４ ３ １ １ ２ １ １ ＝─－─（─）n ＋─（─）n ……（答） ４ ２ ３ ４ ３ ※もう少しスマートなやり方はないのだろうか？