質問＜４１８＞２００１／３／９
from=てつや
「二重積分の積分範囲」

大学３年生（もうすぐ４年）なんですが二重積分の
積分領域Ｄの分け方がわからないのです。
身近に質問できる人もおらず、このＨＰを見つけて
投稿しようと思いました。すごく簡単な問題は解ける
のですが、この問題で引っかかってしまって先に
進めません。ご教授よろしくお願いします。
 
問題
 
　∫∫D  ｙｄｘｄｙ＝？　　　Ｄ：ｙ*ｙ≦ｘ≦ｙ+２
Dは積分の範囲です。

お返事２００１／３／１１
from=武田

積分領域Ｄは、ｙ2 ≦ｘ≦ｙ＋２より、
ｙ2 ≦ｘとｙ≧ｘ－２の共通部分を図示すると、

二重積分
∫∫D ｙｄｘｄｙを計算してみよう。
座標系を横向きに見て、
－１≦ｙ≦２
ｙ2 ≦ｘ≦ｙ＋２より、

∫∫D ｙｄｘｄｙ

　２　y+2
＝∫｛∫　ｙｄｘ｝ｄｙ
　-1　y2 

　２　　　　y+2
＝∫｛［ｙｘ］　｝ｄｙ
　-1　　　　y2 

　２
＝∫｛ｙ（ｙ＋２）－ｙ3 ｝ｄｙ
　-1

　２
＝∫｛－ｙ3 ＋ｙ2 ＋２ｙ｝ｄｙ
　-1

　　　ｙ4 　ｙ3 　　　２
＝［－──＋──＋ｙ2 ］
　　　４　　３　　　　-1

　　　　　８　　　　　　１　１
＝（－４＋─＋４）－（－─－─＋１）
　　　　　３　　　　　　４　３

　　　　　１　　９
＝３－１＋─＝───……（答）
　　　　　４　　４