質問＜４２０＞２００１／３／１２
from=てつや
「二重積分」

前回に続き、また二重積分の範囲について質問です。

∫∫D  dxdy  D: x*x+y*y≦１　0≦ｘ≦ｙ

Dは積分範囲

お返事２００１／３／１２
from=武田

積分範囲Ｄを図示すると、

円ｘ2 ＋ｙ2 ＝１と直線ｙ＝ｘの交点のｘ座標は
ｘ2 ＋ｘ2 ＝１
２ｘ2 ＝１
　　　１　　　　　　　　　　　　１
ｘ2 ＝─　　∴ｘ＞０より、ｘ＝──
　　　２　　　　　　　　　　　√２

したがって、
　　　　　１
０≦ｘ≦──
　　　　√２

ｘ≦ｙ≦√（１－ｘ2 ）

より、

∫∫D 　ｄｘｄｙ

　1/√2　　√(1-x2 )
＝∫　　｛∫　　　　１ｄｙ　｝ｄｘ　　←どちらを先に計算するかは
　０　　　ｘ　　　　　　　　　　　　　　上端・下端の式により、判断！！

　1/√2　　　　　√(1-x2 )
＝∫　　｛［　ｙ　］　　　｝ｄｘ
　０　　　　　　　ｘ

　1/√2
＝∫　　｛√(1-x2 )－ｘ｝ｄｘ　　←公式∫√（ａ2 －ｘ2 ）ｄｘ
　０　　　　　　　　　　　　　　　＝１／２｛ｘ√（ａ2 －ｘ2 ）＋ａ2 sin-1（ｘ／ａ）｝＋Ｃ
　　　　　　　　　　　　　　　　　を利用

　　　１　　　　　　　　　　　　　　ｘ2 　1/√2
＝［───｛ｘ√(1-x2 )＋sin-1ｘ｝－──　］
　　　２　　　　　　　　　　　　　　２　　０

　１　１　π　　１　　π＝─（─＋─）－─＝───　……（答）
　２　２　４　　４　　８