質問＜２３１８＞２００５／５／１
from=名無し
「確率」

問
袋の中に１と書かれたカードが２枚、２と書かれたカードが２枚、
３と書かれたカードが２枚、４と書かれたカードが２枚、の計８枚が入っている。
この袋から３枚のカードを同時に取り出す。

（１）取り出したカードに書かれている３つの数のうち、最大の数をＸとする。
Ｘの期待値を求めよ。

どのようにして解けばいいかおしえてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／５／３
from=wakky

もうこれは力技でいきましょう。
１，２，３，４と書かれたカードをそれぞれ①②③④と書くことにします。
最大値がＸとなる確率をＰ（Ｘ）と書き、その期待値をＥ（Ｘ）と書くことにしま
す。まず、８枚のカードから３枚を取り出す方法は
8Ｃ3＝５６通り
Ｘ＝１となることはありえませんね。
  Ｐ（１）＝０だからＥ（１）＝０
Ｘ＝２となるのは
  ②が２枚で①が１枚のときは
  2Ｃ2×2Ｃ1＝２通り
  ②が１枚で①が２枚のときは
  2Ｃ1×2Ｃ2＝２通り
  計４通り
  Ｐ（２）＝４／５６＝１／１４だから
  Ｅ（２）＝２×（１／１４）＝１／７
Ｘ＝３となるのは
  ③が２枚のときは②か①が１枚のときだから
  2Ｃ2×2Ｃ1×２＝４通り
  ③が１枚のときは、
    ②が２枚か②①が１枚ずつか、①が２枚のときだから
    2Ｃ1×（2Ｃ2＋2Ｃ1×2Ｃ1＋2Ｃ2）＝１２通り
  計１６通り
  Ｐ（３）＝１６／５６＝２／７
  Ｅ（３）＝３×（２／７）＝６／７
Ｘ＝４となるのは
  ④が２枚のときは③か②か①が１枚のときだから
  2Ｃ2×2Ｃ1×３＝６通り
  ④が１枚で、③が２枚のときは
  2Ｃ1×2Ｃ2＝２通り
  ④が１枚で、③が１枚のときは
    ②か①が１枚のときだから
    2Ｃ1×2Ｃ1×2Ｃ1×２＝１６通り
  ④が１枚で②が２枚のときは
    2Ｃ1×2Ｃ2＝２通り
  ④が１枚で②が１枚①が１枚のときは
    2Ｃ1×2Ｃ1×2Ｃ1＝８通り
  ④が１枚で①が２枚のときは
    2Ｃ1×2Ｃ2＝２通り
  計３６通り
  Ｐ（４）＝３６／５６＝９／１４
  Ｅ（４）＝４×（９／１４）＝１８／７
以上からＸの期待値は
Ｅ（１）＋Ｅ（２）＋Ｅ（３）＋Ｅ（４）＝２５／７