質問

Ａ，Ｂ，Ｃ３人でじゃんけんをする。一度じゃんけんで負けた者は、
以後じゃんけんから抜ける。残りが１人になるまでじゃんけんを繰り
返し、最後に勝った者を勝者とする。ただし、あいこの場合も１回の
じゃんけんを行ったと考える。
①１回目もじゃんけんで勝者が決まる確率
②２回目のじゃんけんで勝者が決まる確率
③ｎ≧４とする。ｎ回目のじゃんけんで勝者が決まる確率をそれぞれ求めよ。
この問題が分かりません・・・

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／１０
from=wakky

まず、解くための準備です。
Ｇ＝ぐー、Ｔ＝ちょき、Ｐ＝ぱー　です。
まず、１人の手の出し方は３通りで
３人いるので、すべての手の出し方は３^3通りです。
２人のときは、３^2通りです。
３人でじゃんけんをして
（Ａ）１人が勝ち２人が負ける確率は
　　　ＧＴＴ・ＴＰＰ・ＰＧＧのパターンで
　　　勝つ１人の選び方は3Ｃ1通りあるから
　　　（３／３^3）×3Ｃ1＝１／３
（Ｂ）２人が勝ち１人が負ける確率は
　　　ＧＧＴ・ＴＴＰ・ＰＰＧのパターンで
　　　勝つ２人の選び方は3Ｃ2通りあるから
　　　（３／３^3）×3Ｃ2＝１／３
（Ｃ）あいことなる確率は
　　　ＧＴＰのパターンで３人いるから３！通り
　　　ＧＧＧ・ＴＴＴ・ＰＰＰのパターンの３通り
　　　あわせて３！＋３通りだから
　　　（３！＋３）／３^3＝１／３
次に、２人でじゃんけんをして
（Ｄ）一方が勝つ確率は
　　　ＧＴ・ＴＰ・ＰＧのパターンで
　　　勝つ方の選び方は２通りなので
　　　（３／３^2）×２＝２／３
（Ｅ）あいこになる確率は
　　　ＧＧ・ＴＴ・ＰＰのパターンで
　　　３／３^2＝１／３
　　　※１－（２／３）＝１／３でもいいでしょう。
（回答）
①
１回目で勝者が決まるのは（Ａ）の場合なので
求める確率は　１／３・・・（答）
②
２回目で勝者が決まるのは
　１回目に（Ｂ）で、２回目に（Ｄ）のとき、または
　１回目に（Ｃ）で、２回目に（Ａ）のときだから
　（１／３）×（２／３）＋（１／３）×（１／３）
　＝１／３・・・（答）
③
ｎ回目で勝者が決まるのだから、（ｎ－１）回目が終わって、
２人残っているかまたは３人残っている場合です。

（ｎ－１）回目が終わって２人残っている場合

（ｎ－１）のうち、どれか１回（ｎ－１通りある）が（Ｂ）であればよいので
（ｎ－１）回目までは
（１／３）^(n-2)×（ｎ－１）（１／３）
＝（ｎ－１）（１／３）^(n-1)
ｎ回目は（Ｄ）のときで２／３だから
この場合の確率は
２（ｎ－１）（１／３）^n・・・（ア）

（ｎ－１）回目が終わって３人残っている場合

（ｎ－１）回目まではすべて３人であいこなので
（Ｃ）が（ｎ－１）続くということだから（１／３）^(n-1)
ｎ回目は（Ａ）となるので１／３なので
この場合の確率は
（１／３）^(n-1)×（１／３）＝（１／３）^n・・・（イ）

以上からｎ回目に勝者が決まる確率は
（ア）＋（イ）＝（２ｎ－１）（１／３）^n・・・（答）