質問

座標平面上で連立方程式ー２≦ｘ≦４、－２≦ｙ≦２の表す領域をTとする。
最初、点Pの位置は原点とする。２種類の硬貨A,Bを同時に投げて表が出るか
裏が出るかに従って、次のようにPの位置を決める試行をする。
点PがTの点である場合
AとBが共に表のときｘ座標とｙ座標を共に１ずつ増す。
Aが表、Bが裏のとき、ｘ座標を１増し、y座標を１減らす。
Aが裏、Bが表のとき、ｘ座標を１減らし、ｙ座標を１増す。
AとBが裏のとき、ｘ座標とｙ座標を共に１つずつ減らす。
点PがTの外部にある場合は動かさない。
（１）２回の試行でPが原点に戻る確率は？
（２）２回の試行後にPがTの周上にある確率は？
（３）３回の試行後にPがTの点である確率は？
（４）４回の試行でPがはじめて原点に戻る確率は？
（５）４回の試行後にPがTの外部にある確率は？
（６）４回の試行後にPがｘ座標上にある確率は？

できるだけなぜこうなるかというのを詳しく説明して答えを導いてくださると
助かります。答えは分かっているのですが（１）からなぜ４分の１が出てくる
かも分かりません・・
どうぞよろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／１６
from=JJon.com

数学に関してはシロウトです。
パターンを数え上げただけですので，間違いがあったら指摘してください。
また，スマートな解法があったら教えてください。

------------------------------------------------------------------------
硬貨Ａの面がｘ座標の増減を表す。
        Ａが表（以下，○）だとｘ＋１，　Ａが裏（以下，●）ならｘ－１。
硬貨Ｂの面がｙ座標の増減を表し，
        Ｂ○だとｙ＋１，　Ｂ●ならｙ－１。
１回の試行によって，点Ｐは斜め４方向（右上，右下，左上，左下）の
いずれかに１歩だけ進む。どの方向が選ばれるかはそれぞれ1/4の確率。

------------------------------------------------------------------------
（１）２回の試行でPが原点に戻る確率は？
１回目の試行……４方向のどこに進んでもよい。確率は 1/4×４＝１
２回目の試行……進む方向は １回目とは逆方向のみ。確率は 1/4
よって，１×1/4 ＝ 1/4

------------------------------------------------------------------------
（２）２回の試行後にPがTの周上にある確率は？
条件を簡単にするためにとりあえず，－２≦ｘ≦４ ではなく，
－２≦ｘ≦２ に変更して，領域Ｔを正方形の領域だと変更してみる。

ＰがＴの周上にある，とは，
x=2 または x=-2 または y=2 または y=-2 の境界線にＰが移動してくること。
このような移動になるのは，１回目の試行と２回目の試行において，
ＡまたはＢが，○○または●●のように，２回連続で同じ面を出したとき。

２回連続で同じ面を出さないパターンは（１）の原点に戻る場合のみ。
変更した簡単な条件の下での確率は，
１回目の試行……４方向のどこに進んでもよい。確率は 1/4×４＝１
２回目の試行……進む方向は（１）以外の３方向どれでも可。確率は 3/4
よって，１×3/4 ＝ 3/4

しかし本来，x=2 は境界線ではないので，このパターンは除外する。
　　１回目（Ａ○Ｂ○），２回目（Ａ○Ｂ○）……y=２ の境界線上
　／　
／＼１回目（Ａ○Ｂ○），２回目（Ａ○Ｂ●）……境界線上でない(1/4×1/4)
＼／１回目（Ａ○Ｂ●），２回目（Ａ○Ｂ○）……境界線上でない(1/4×1/4)
　＼
　　１回目（Ａ○Ｂ●），２回目（Ａ○Ｂ●）……y=-2 の境界線上

よって，3/4－(1/4×1/4×２) ＝ 5/8

------------------------------------------------------------------------
（３）３回の試行後にPがTの点である確率は？
ＡまたはＢが，○○○または●●●のように３回，同じ面を出すと
領域外に出てしまう。ただし，Ａ＝○○○（ｘ＝＋３）は領域内。

Ｐが領域外に出る確率
＝　(ｙ＝＋３)　＋　(ｙ＝－３)　＋　(ｘ＝－３)　－　(x=-3,y=+3) －　(x=-3,y=-3)

＝　Ａ？？？　　＋　Ａ？？？　　＋　Ａ●●●　　－　Ａ●●●　　－　Ａ●●●
　　Ｂ○○○　　　　Ｂ●●●　　　　Ｂ？？？　　　　Ｂ○○○　　　　Ｂ●●●

＝　１／８　　　＋　１／８　　　＋　１／８　　　－　1/64　　　　－　1/64

＝　24/64 － 2/64 ＝ 11/32。
よって，Ｔの領域内の点である確率は １－11/32＝ 21/32

------------------------------------------------------------------------
（４）４回の試行でPがはじめて原点に戻る確率は？
４回の試行でＰがはじめて原点に戻るのは次の３パターン。

(a) １回目の試行……４方向のどこに進んでもよい          １
    ２回目の試行……１回目と同じ向きに進む              1/4
    ３回目の試行……来た道を逆に戻る                    1/4
    ４回目の試行……来た道を逆に戻る                    1/4

(b) １回目の試行……４方向のどこに進んでもよい          １
    ２回目の試行……90度 方向転換（右・左どちらも可）   2/4
    ３回目の試行……来た道を逆に戻る                    1/4
    ４回目の試行……来た道を逆に戻る                    1/4

(c) １回目の試行……４方向のどこに進んでもよい          １
    ２回目の試行……90度 方向転換（右・左どちらも可）   2/4
    ３回目の試行……１回目とは逆方向                    1/4
    ４回目の試行……２回目とは逆方向                    1/4

よって，(a)＋(b)＋(c) ＝ 5/64

------------------------------------------------------------------------
（５）４回の試行後にPがTの外部にある確率は？
Ｐの座標はＴの内部にとどまっている限り，
奇数回目の試行後にはｘ座標ｙ座標とも奇数になり，
偶数回目の試行後にはｘ座標ｙ座標とも偶数になる。

「（３）３回の試行後にPがTの点である」場合のＰの座標は
－１≦ｘ≦３，－１≦ｙ≦１。
そこから４回目の試行をおこなっても，
新たにＰがＴの外部に出てくるパターンは見つからない。

ＰはいったんＴの外部に出てしまえば内部に戻らないので，
すでに（３）で求めた「３回の試行後にPがTの外部にある確率」を答えればよい。
よって，11/32

------------------------------------------------------------------------
（６）４回の試行後にPがｘ座標上にある確率は？
ｙ＝０ …… Ｂの表裏が同数，つまり，Ｂは ○○●●の組合せ(6/16)
        かつ
３回目の試行で ｘ＝－３ にならない（Ｔの外に出るのでＰは動けなくなる）
       …… Ａは ●●●？(1/8) ではない

よって，Ａ？？？？　－　Ａ●●●？　＝ 6/16 － 1/8×6/16 ＝ 21/64
　　　　Ｂ○○●●　　　Ｂ○○●●

------------------------------------------------------------------------