質問＜２９２５＞２００６／２／８
たくさんありますがどうぞよろしくおねがいします(＠_＠;)
やさしい方私のわからない問題に付き合ってください＜m(__)m＞
①∬Dxydxdy,D={(x,y)∈R3｜x,y≧,xz;y≦a}(a＞0)
②∬Dxydxdy,D={(x,y)∈R3｜ay≧x2,ax≧y2}(a＞0)
★希望★完全解答★
お返事２００６／２／８
from=武田
①は
∬Dxydxdy,D={(x,y)∈R^2｜x,y≧,xz;y≦a}(a＞0)
^^^^^^^^^^^^^^
↑意味不明？？
②は
∬Dxydxdy,D={(x,y)∈R^2｜ay≧x^2,ax≧y^2}(a＞0)
^^^
↑平面座標
と考えて良いですか？
お便り２００６／２／９
from=なっち
①∬Dxydxdy,D={(x,y)∈R^3｜x,y≧0,x+y≦a}(a＞0)
②∬Dxydxdy,D={(x,y)∈R^2｜ay≧x2,ax≧y2}(a＞0)
すみません。問題を書き間違えました。
おねがいします。。。
お便り２００６／８／１１
from=KINO
(1) ∬Dxydxdy,D={(x,y)∈R^2｜x,y≧0,x+y≦a}(a＞0)
と考えることにします。
この重積分の値は領域 D は x 軸と y 軸，そして直線 x+y=a に囲まれた三角形の内部です。
累次積分（逐次積分）に直して計算しましょう。
まず y について積分し，そのあと x について積分するという順番にしてみましょう。
y=a-x と y≧0 より，x≦a です。
したがって，x≧0 と合わせて x の動ける範囲は 0≦x≦a とわかります。
x をこの範囲でひとつ固定すると，y は 0≦y≦a-x の範囲でしか動けないことになります。
というわけで，
∬Dxydxdy=∫[0≦x≦a]∫[0≦y≦a-x]xydydx
となります。y について積分するとき，x は定数と思いますので，
∫[0≦y≦a-x]xydy=x∫[0≦y≦a-x]ydy=x(a-x)2/2
となります。
今度はこの結果を x について積分します。
∫[0≦x≦a]{x(a-x)2/2}dx=(1/2)∫[0≦x≦a]x(a-x)2dx
部分積分を使うと計算が楽になります。
∫[0≦x≦a]x(a-x)2dx=[-x(a-x)3/3]a0+(1/3)∫[0≦x≦a](a-x)3dx=a4/12.
(2) D={(x,y)∈R^2｜ay≧x2,ax≧y2}(a＞0) とみなします。
これは，2次関数のグラフ y=x2/2 と無理関数 y=√(ax) のグラフで囲まれた図形になります。
（ax≧y2≧0，a＞0 より x≧0 となることに注意。）
x を固定してまず y について積分し，その後 x について積分する順序で求めてみます。
始めに x の動く範囲を求めましょう。
まず，ay≧x2≧0，ax≧y2≧0 と a＞0 より，x≧0，y≧0 であることがわかります。
次に，x2≦ay，y2≦ax をみたす実数 y≧0 が存在するような x の条件を求めます。
これらより，x2/a≦y≦√(ax) となるので，
x≧0 かつ x2/a≦√(ax) であることが必要十分です。
この不等式より，0≦x√x≦a√a となり，結局 0≦x≦a であることがわかります。
以上より，
0≦x≦a，x2/a≦y≦√(ax)
がわかりました。
x を定数と思って xy を y について x2/a≦y≦√(ax) の範囲で積分すると，
(1/2)(ax2-x5/a2) が得られ，
これを x について 0 から a まで積分すると，答えが a4/12 となると思います。
（僕の計算があっていれば，の話ですが。）
不思議と (1) と同じ値になりました。