質問

１から４までのカードが１枚ずつ箱の中に入っていて
この中から１枚取り出して元に戻すことを５回行う。
n（＝１、２、３、４、５）回目に引いたカードに書かれている数をa_nで表す
とき、n≧２に対して
a_n＞a_n－1なら1点。a_n≦a_n－1なら０点。
を与え、これらの合計点をNとする。N＝２となる確率を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／２２
from=ZELDA

n=2,3,4,5に対して、a(n)とa(n-1)の大小関係を比較する試行を考える。
この試行は、4回の反復試行である。
N=2となるのは、4回の試行のうち2回の試行で
a(n)＞a(n-1).....(A)
となる場合である。
したがって、1回の試行で(A)が成立する確立をPとすると、求める確率は
(4C2)×(P^2)×(1-P)^2......(B)
である。

ここで、1回の試行について考える。
a(n-1)=1のとき
a(n)=2,3,4

a(n-1)=2のとき
a(n)=3,4

a(n-1)=3のとき
a(n)=4

この6通りの場合に(A)が成立する。
したがって、

P=6/(4×4)=3/8
これを(B)に代入すると、求める確率は、

75/8192

である。