質問＜３５３３＞２００７／４／１５
from=小豆
「確率変数の証明」

いつもお世話になっています。
以下の問題を教えて下さい。
宜しくお願いします。

E(ｘ)＝∫〔０→∞〕(１－Fｘ(ｘ))ｄｘ　で
あることを証明せよ。

★希望★完全解答★

お便り２００７／４／１７
from=juin

E|X|＜∞とする。F(x)=P(X＜x),f(x)=dF(x)/dxとする。
∫(1-F(x))dx=[x(1-F(x))]-∫x(-f(x))dx
ここで、x(1-F(x))=x(1-P(X＜x))=xP(X＞x)→0 as x→∞
また、∫x(-f(x))dx=-EX
よって、∫(1-F(x))dx=(0-0)-(-EX)=EX