質問＜３５４６＞２００７／５／２０
from=m&c
「4次方程式」

「x^4-2x^3+3x^2-2x+1=0を解け。」の完全解答を宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お返事２００７／５／２０
from=武田

これは、相反方程式（＜９６８＞参照）なので、両辺をｘ^2で割ると、
ｘ^2－２ｘ＋３－２／ｘ＋１／ｘ^2＝０
（ｘ＋１／ｘ）＝ｙとおくと、
（ｘ＋１／ｘ）^2＝ｘ^2＋２＋１／ｘ^2＝ｙ^2となるから、
ｘ^2－２ｘ＋３－２／ｘ＋１／ｘ^2＝０を変形して、
（ｘ^2＋２＋１／ｘ^2）－２（ｘ＋１／ｘ）＋１＝０
ｙ^2－２ｙ＋１＝０
（ｙ－１）^2＝０
∴ｙ＝１（重解）
これを、（ｘ＋１／ｘ）＝ｙに戻して、
（ｘ＋１／ｘ）＝１
両辺にｘをかけて、
ｘ^2－ｘ＋１＝０
解の公式より、
ｘ＝（１±ｉ√３）／２（虚数解）
したがって、
上記の4次方程式の解は、４つあって、
（１＋ｉ√３）／２（重解）、（１－ｉ√３）／２（重解）

（追伸）
４次方程式が、相反方程式でなくて上記のテクニックが使えないときは、
次のようにやると良い。
「フェラリの解法」（＜１０３＞参照）で、４次方程式を３次方程式に直し、
それを「カルダノの解法」（＜３１＞参照）で解く。