質問＜９６８＞２００２／９／３０
from=hiroki
「相反方程式」

相反方程式とはどういうもので、どうゆう利用方法が
あるのですか？

お便り２００２／１０／２
from=phaos

相反方程式 reciprocal equation
一般に a_0 ≠ 0 として
a_0 x^n + a_1 x^(n-1) + a_2 x^(n-2) +
　　　　　　　　 … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 …(1)
という形をしている方程式のことをいう。

もしも n が奇数であるとすると, この方程式は x = -1 を解に持つ。
そして x + 1 で (左辺を) 割った商が再び相反の形になっている。

さて, 方程式 (1) は偶数次であるとしよう。 即ち n = 2m
仮定 a_0  ≠ 0 により, この方程式は x = 0 を解には持たないので,
両辺を x^(n/2) = x^m で割ってもかまわない。
実際割ってみると
a_0 (x^m + 1/x^m) + a_1 (x^(m-1) + 1/x^(m-1)) + … + a_m = 0
ここで t = x + 1/x と置くと
t^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 だから x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2.
t^3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x) だから x^3 + 1/x^3 = t^3 - 3t.
t^4 =(x^2 + 1/x^2)^2 - 2 = (t^2 - 2)^2 - 2.
等々なので, 結局方程式 (1) は t の方程式に変換されて
次数が半分になる。
この m = n/2 次の方程式が解ければ, 
次に t に関する二次方程式になるので
普通の解の公式によって x について解けることが分かる。
解の公式が存在するのは 4 次方程式までだから,
これで 9 次までの相反方程式ならば代数的に解けることが
分かったわけである。

Galois 理論によって, 一般に代数的に解ける方程式というのは
極めて限られているわけだから,
相反方程式はまだ解けそうな方程式の中にはいっているという意味で
わざわざ名前が付いているのだと思われる。

これを用いると例えば x^5 = 1 が解ける
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/drawing/pentagon.html
を参照のこと。