質問＜３１＞９８／８／７
from=坂田
「三次方程式の解の公式」

三次方程式　ｘ＾３＋ｍｘ＋ｎ＝０の一般解を教えてください。

お返事９８／８／９
from=武田

解の公式はありませんが、一般解は次のようにして求めるようです。
その前に、ｘ2の項のある三次方程式
ｘ3＋ｐｘ2＋ｑｘ＋ｒ＝０
は、変換式　ｘ＝ｙ－（ｐ／３）とおくと、ｘ2の項がな
い与式ができるので、この与式を計算すればよいようです。

与式　ｘ3＋ｍｘ＋ｎ＝０
ｘ＝ｕ＋ｖとおき代入すると、
（ｕ＋ｖ）3＋ｍ（ｕ＋ｖ）＋ｎ＝０
変形して
（ｕ3＋ｖ3＋ｎ）＋（３ｕｖ＋ｍ）（ｕ＋ｖ）＝０
この式が成り立つためには、
　　┌　ｕ3＋ｖ3＋ｎ＝０
　　└　３ｕｖ＋ｍ＝０
でなければならないから、この２式を満たす組（ｕ，ｖ）を求めると、
与式の解が求まる。
３ｕｖ＝－ｍより、ｖ＝－ｍ／３ｕと変形し、代入すると、
ｕ3＋（－ｍ／３ｕ）3＋ｎ＝０
両辺にｕ3を掛けて、
ｕ6＋ｎｕ3－ｍ3／２７＝０
六次方程式だが、ｕ3＝ｔとおくと、
ｔの２次方程式になる。
ｔ2＋ｎｔ－ｍ3／２７＝０
二次方程式の解の公式を使って、
ｔ＝（－ｎ／２）±√｛（ｎ／２）2＋（ｍ／３）3｝
このあとは、式が複雑になるので、この解をＡ，Ｂとおく。
Ａ＝（－ｎ／２）＋√｛（ｎ／２）2＋（ｍ／３）3｝
Ｂ＝（－ｎ／２）－√｛（ｎ／２）2＋（ｍ／３）3｝
すると、ｕ3＝Ａより、
ｕ＝（3√Ａ）×１，（3√Ａ）×ω，（3√Ａ）×ω2
ただし、１，ω，ω2は　ｘ3＝１の３解である。
ｖ3も、ｕ3と同じ解となるが、
片一方がＡのときは、もう一方はＢより、
ｖ＝（3√Ｂ）×１，（3√Ｂ）×ω，（3√Ｂ）×ω2
したがって、ｘ＝ｕ＋ｖより与式の３解は、
　　┌ｘ＝（3√Ａ）×１＋（3√Ｂ）×１
　　│ｘ＝（3√Ａ）×ω＋（3√Ｂ）×ω2
　　└ｘ＝（3√Ａ）×ω2＋（3√Ｂ）×ω
となる。

お返事９８／１２／２２
from=武田

その後分かったことを追記します。

３次方程式の判別式Ｒ＝（ｎ／２）2＋（ｍ／３）3において
①Ｒ＞０のとき、
ｕ＝（3√Ａ）×１，（3√Ａ）×ω，（3√Ａ）×ω2より
３ｕｖ＋ｍ＝０、ｕｖ＝－ｍ／３（定数）を満たすようにｖを決めると、
ｕ＝（3√Ａ）×１のとき、ｖ＝（3√Ｂ）×１
ｕ＝（3√Ａ）×ωのとき、ｖ＝（3√Ｂ）×ω2
（∵ω×ω2＝ω3＝１より）
ｕ＝（3√Ａ）×ω2のとき、ｖ＝（3√Ｂ）×ω
したがって、３つの場合より、ｘ＝ｕ＋ｖより与式の３解は、
　　┌ｘ1＝（3√Ａ）×１＋（3√Ｂ）×１
　　│ｘ2＝（3√Ａ）×ω＋（3√Ｂ）×ω2
　　└ｘ3＝（3√Ａ）×ω2＋（3√Ｂ）×ω
となる。これは、１実根ｘ1と２複素根ｘ2、ｘ3となる。
②Ｒ＜０のとき、（つまりｍ＜０）
ｕ3＝Ａ＝（－ｎ／２）＋√Ｒ
複素数なので、極形式で表す。
ｕ3＝ｒ0（cosθ＋ｉsinθ）
ド・モアブルの定理より
ｕ＝3√ｒ0（cosθ/3＋ｉsinθ/3）
　＝3√ｒ0ｅiθ/3
ｕ3とｖ3は、共役複素数だから
ｖ3＝ｒ0（cosθ－ｉsinθ）より、
ｖ＝3√ｒ0（cosθ/3－ｉsinθ/3）
　＝3√ｒ0ｅ-iθ/3
∴ｘ1＝ｕ＋ｖ＝２3√ｒ0cosθ/3

ω＝（－１＋ｉ√３）／２＝ｅi2π/3
ω2＝ｅ-i2π/3より
∴ｘ2＝ωｕ＋ω2ｖ
　　　＝ｅi2π/3・3√ｒ0ｅiθ/3＋ｅ-i2π/3・3√ｒ0ｅ-iθ/3
　　　＝－２3√ｒ0cos(θ－π)/3

同様にして
∴ｘ3＝ω2ｕ＋ωｖ
　　　＝－２3√ｒ0cos(θ＋π)/3

ｕｖ＝（3√ｒ0）2とｕｖ＝－ｍ／３（定数）より
3√ｒ0＝√(－ｍ／３)
cosθ＝（－ｎ／２）／ｒ0
このことより、ｒ0とθが求まるので、
３実根ｘ1、ｘ2、ｘ3が求まる。