質問＜３０８７＞２００６／４／１４
x，y，z∈Nがx^2+y^2=z^2をみたすとき次の①，②を示せ。 ① 15x+28y=4をみたす整数の組(x，y)を1組求めよ。 ② 15x+28y=4をみたす整数の組(x，y)を全て求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り２００６／５／２
from=BossF
[解]x，y，z∈N なら
15x+28y≧43 だから①②とも解なし
…と、これではあんまりですので、
x，y，z∈Z (Z={整数})の場合について考えて見ます
[x，y，z∈Zとした時の解]以下文字は総て整数とします
15x+28y＝4…①より、明らかに x は4の倍数だから
x=4k とおける
すると①より 15k+7y=1
すなわち y=(1-15k)/7
={1-15(k-1+1)}/7
={-14-15(k-1)}/7
=-2-15(k-1)/7
よって k-1=7n
このとき x=28n+4
y=-15n-2 …②逆にこのとき十分
よって求める答は② ■
お便り２００６／５／３
from=ZELDA
BossFさんの解答についてなんですが、 私もx,y,zを整数とみなして解こうとしたのは 同じなのですが、x,y,zがピタゴラス数だというのは無視 してはまずい気がするのですが・・・・・・
お便り２００６／５／３
from=BossF
管理人殿
いつも楽しくHP拝見させていただいてます
すみません、問題をよく読んでませんでした
以下に差し替えてください BossF
[解]x，y，z∈N なら
15x+28y≧43 だから①②とも解なし
…と、これではあんまりですので、
x，y，z∈Z (Z={整数})の場合について考えて見ます
[x，y，z∈Zとした時の解]以下文字は総て整数とします
15x+28y＝4…(1)より、明らかに x は4の倍数だから
x=4k とおける
すると(1)より 15k+7y=1
すなわち y=(1-15k)/7
={1-15(k-1+1)}/7
={-14-15(k-1)}/7
=-2-15(k-1)/7
よって k-1=7n
このとき x=28n+4
y=-15n-2 …(2)
(2)を x^2+y^2=z^2 に代入して
(28n+4)^2+(-15n-2)^2=z^2
n=2 のとき与式を満たすz=68 が存在
よって、(x,y)=(60,-32) …①の答
②の方は、まだできてないです(^^;;」
お便り２００６／５／４
from=maro
質問＜３０８７＞のjyjyjyjyjy0703さんの問いに対する解答で わからないところがあるのですが… 質問① 「15x+28y＝4より、明らかに x は4の倍数だから」 とありますが、何故４の倍数と言いきれるのか？ 質問② この問題はどうして質問＜２５１６＞や質問＜２４８５＞のような 解法をしないのか？ 質問③ この問題ではこれらの解法はできるのか？ よく解かっていないので教えてください
お便り２００６／５／７
from=BossF
＜maroさんへ＞
質問①
「15x+28y＝4より、明らかに x は4の倍数だから」
とありますが、何故４の倍数と言いきれるのか？
→15x+28y＝4 の両辺を4で割ると 15x/4+7y=1
すると 15x/4 が整数でなくてはならないからです
質問②
この問題はどうして質問＜２５１６＞や質問＜２４８５＞のような解法を
しないのか？
質問③
この問題ではこれらの解法はできるのか？
→これは本質的に同じ質問だと思いますので、まとめてお答えします
質問＜２５１６＞や質問＜２４８５＞の解法 は「Euclid(ユークリッド)の互除法」
と呼ばれるものが使われており、私の解も本質的に同じものなのですよ。
一般に
ax+by=c …① を解いてみましょう
（以下文字は全て整数とします）
①を満たす(x,y)=(p,q)…②が発見できたとします
すると
ap+bq=c …③
①-③より
a(x-p)+b(y-q)=0 i.e. a(x-p)=-b(y-q)
∴(x-p):(y-q)=-b:a
よって
x-p=-bn
y-q=an とおけ、
これより①は解けます(1つの文字で表せる）
ところが問題は②を満たす例が、そう簡単には見つからないことが多いのです
実は②を満たす例を機械的に見つける方法が「Euclidの互除法」なのです。
「Euclidの互除法」については検索すれば幾らでもでてくると思いますので、
ここでは述べませんが、興味があったら調べてみてください。それでも分から
なければ、再々質問されれば良い(=^・^=)