質問＜２４８５＞２００５／７／２３
from=こなつ
「整数解」

（１）
３×Xの2乗ー３×X＋１をX＋１で割った商と余りを求めよ。

（２）
１３ｘ－５ｙ＝２の整数解を求めよ。

★希望★完全解答★

お返事２００５／７／２３
from=武田

（１）
Ａ÷Ｂ＝Ｑ…Ｒは、Ａ＝ＢＱ＋Ｒ

Ｂ＝０となるのは、Ｂ＝ｘ＋１＝０より、ｘ＝－１

ｘ＝－１のとき
Ａ（－１）＝０・Ｑ＋Ｒ＝Ｒ

余りＲを出すには、
割られる式Ａ＝３ｘ^2－３ｘ＋１に
ｘ＝－１を代入すればよいから、
∴Ｒ＝Ａ（－１）＝３＋３＋１＝７

（３ｘ^2－３ｘ＋１）÷（ｘ＋１）＝Ｑ…７
（３ｘ^2－３ｘ＋１）＝（ｘ＋１）Ｑ＋７
（ｘ＋１）Ｑ＝（３ｘ^2－３ｘ＋１）－７
　　　　　　＝３ｘ^2－３ｘ－６
∴Ｑ＝（３ｘ^2－３ｘ－６）÷（ｘ＋１）＝３ｘ－６

（２）
１次不定方程式１３ｘ－５ｙ＝２を解くには、
小さい方の数５で１３を表現すると、
（５・２＋３）ｘ－５ｙ＝２
５（２ｘ－ｙ）＋３ｘ＝２
小さい方の数３で５を表現すると、
（３・１＋２）（２ｘ－ｙ）＋３ｘ＝２
３（２ｘ－ｙ＋ｘ）＋２（２ｘ－ｙ）＝２
３（３ｘ－ｙ）＋２（２ｘ－ｙ）＝２
小さい方の数２で３を表現すると、
（２・１＋１）（３ｘ－ｙ）＋２（２ｘ－ｙ）＝２
２（３ｘ－ｙ＋２ｘ－ｙ）＋（３ｘ－ｙ）＝２
２（５ｘ－２ｙ）＋（３ｘ－ｙ）＝２
一方が１になったとき、その方をｎとおく。
３ｘ－ｙ＝ｎ
２（５ｘ－２ｙ）＋ｎ＝２より、１０ｘ－４ｙ＝２－ｎ
連立にして、
｛３ｘ－ｙ＝ｎ………①
｛１０ｘ－４ｙ＝２－ｎ………②
①・４－②より
２ｘ＝５ｎ－２
∴ｘ＝（５ｎ－２）／２………③
③を①に代入して、
３（５ｎ－２）／２－ｙ＝ｎ
１５ｎ－６－２ｙ－２ｎ＝０
－２ｙ＋１３ｎ－６＝０
２ｙ＝１３ｎ－６
∴ｙ＝（１３ｎ－６）／２

したがって、
｛ｘ＝（５ｎ－２）／２
｛ｙ＝（１３ｎ－６）／２

ｎ＝２のとき
　　ｘ＝（１０－２）／２＝４
　　ｙ＝（２６－６）／２＝１０
したがって、
任意の整数ｍのとき、
１次不定方程式１３ｘ－５ｙ＝２を満たす整数解は
　　｛ｘ＝４＋５ｍ
　　｛ｙ＝１０＋１３ｍ