質問＜３００１＞２００６／３／１
from=けい
「３次方程式の判別式」

３次方程式ｘ^3－３ｋ^2ｘ＋２ｋ＝０が異なる３つの実数解を持つように、
実数の定数ｋの値を求めよ。
どなたかよろしくお願いします。。

★希望★完全解答★

お返事２００６／３／１
from=武田

３次方程式　ｘ＾３＋ｍｘ＋ｎ＝０　の判別式
Ｒ＝（ｎ／２）^2＋（ｍ／３）^3　において
Ｒ＜０のとき、（つまりｍ＜０）に、３実根ｘ1、ｘ2、ｘ3が定まる。
詳しくは、質問＜３１＞参照

したがって、
Ｒ＝（ｎ／２）^2＋（ｍ／３）^3
　＝（２ｋ／２）^2＋（－３ｋ^2／３）^3
　＝ｋ^2　－ｋ^6
　＝ｋ^2（１－ｋ^4）
　＝ｋ^2（１＋ｋ^2）（１＋ｋ）（１－ｋ）
Ｒ＜０より、
ｋ^2（１＋ｋ^2）（１＋ｋ）（１－ｋ）＜０
ｍ＜０より、－３ｋ^2＜０、ｋ^2＞０、１＋ｋ^2＞０
よって、
（１＋ｋ）（１－ｋ）＜０
∴ｋ＜－１，１＜ｋ……（答）

お便り２００６／３／２
from=angel

3次関数のグラフを想像しましょう。

f(x)=x^3-3k^2x+2k としたとき、

f(x)=0 が異なる3実数解を持つ
⇔ y=f(x)のグラフが、x軸と異なる3点で交わる
⇔ f(x)が極小値・極大値を持ち、極小値は0未満、極大値は0より大

f'(x)=3x^2-3k^2=3(x-k)(x+k)
よって、 f'(x)=0 の解は、k=0 の時 x=0(重解)、k≠0の時 x=±k

また、
f(k)=-2k^3+2k=-2k(k-1)(k+1)
f(-k)=2k^3+2k=2k(k^2+1)

・k＞0 の時、
　x=k の時 f(k)が極小、x=-k の時 f(k)が極大
　k＞0, k^2+1＞0 より、極大値 f(-k)＞0 は成立する。
　極小値 f(k)＜0 を解いて、k＞1

・k=0 の時、
　f(x)は極小値も極大値も持たない

・k＜0 の時
　x=-k の時 f(k)が極小、x=k の時 f(k)が極小
　k＜0, k^2+1＞0 より、極小値 f(-k)＜0 は成立する。
　極大値 f(k)＞0 を解いて、k＜-1

あわせて、
　k＞1, k＜-1