質問＜２９９２＞２００６／２／２７
from=つじ
「不等式」

次の不等式を解け、ただし０≦ｘ＜２π
（１）sin^2(2x)+6sin^2(x)≦4
（２）5sin^2(x)+sin^2(2x)＞4cos(2x)
（３）sinx+sin2x≦cosx+cos2x
という問題なんですが、どうでしょうか？

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／２１
from=ZELDA

(1)
sin^2(2x)+6sin^2(x)≦4
sin^2(2x)+3(1-cos2x)≦4
1-cos^2(2x)+3-3cos2x≦4
cos^2(2x)+3cos2x≧0
cos2x(cos2x+3)≧0
cos2x+3>0であるから
cos2x≧0
したがって、求める範囲は
0≦x≦π/4
3π/4≦x≦5π/4
7π/4≦x<2π

(2)
5sin^2(x)+sin^2(2x)＞4cos2x
10sin^2(x)+2sin^2(2x)＞8cos2x
5(1-cos2x)+2(1-cos^2(2x))＞8cos2x
2cos^2(2x)+13cos2x-7＜0
(2cos2x-1)(cosx+7)＜0
cosx+7＞0であるから
2cos2x-1＜0
cos2x＜1/2
したがって求める範囲は
π/6＜x＜5π/6
7π/6＜x＜11π/6

(3)
sinx+sin2x≦cosx+cos2x
2sin(3x/2)cos(x/2)≦2cos(3x/2)cos(x/2)
cos(x/2)(sin(3x/2)-cos(3x/2))≦0
cos(x/2)sin(3x/2-π/4)≦0
したがって、
cos(x/2)≧0かつsin(3x/2-π/4)≦0
または
cos(x/2)≦0かつsin(3x/2-π/4)≧0
したがって、求める範囲は、
0≦x≦π/6
5π/6≦x≦π
3π/2≦x＜2π 
かなり見ずらい解答になってしまいました。

お便り２００６／３／２２
from=Fool

(1)(2)は倍角の定理を用いた式変形で解くのが楽だろう。
(3)はグラフで考えたい。図は省略するが、分かりにくければ実際に描くと良い。

(1)
倍角の公式でsin(x)に統一し
 4sin^2(x)*(1-sin^2(x))+6sin^2(x)≦4
簡単にするためsin^2(x)=tとして整理すると
 2t^2-5t+4≧0
因数分解して
 (2t-1)(t-2)≧0
0≦t(=sin^2(x))≦1より
 0≦t≦1/2
sin(x)に戻すと
 -1/√2≦sin(x)≦1/√2
従ってこの範囲では
 0≦x≦π/4　3π/4≦x≦5π/4　7π/4≦x≦2π

(2)
同様にsin^2(x)=tとして倍角の公式などにより変形し
 (4t-1)(t-4)＜0
従って
 1/2＜sin(x)≦1
すなわち
 π/6＜x＜5π/6

(3)
xy平面上の２点(cos(x),sin(x))と(cos(2x),sin(2x))の中点をMとすると
この問題の式は Mのx座標がy座標以上であること を意味している。
Mは原点と点N(cos(3x/2),sin(3x/2))の間にあるので、
これは 点Nのx座標がy座標以上であること とも同値である。
従ってcos(3x/2)≧sin(3x/2)とでき、
 0≦x≦π/6　5π/6≦π≦3π/2