質問＜２９９３＞２００６／２／２７
from=TK
「極限」

数検一級の過去問からの出題です。
lim[n->∞]n/(n!)^(1/n)
を求めなさい。

答えがeになるそうなんですが、どうやって示すか分かりません。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／２８
from=angel

途中で定積分に持ち込みます。

x = n/(n!)^(1/n) と置くと、

log x = log n - 1/n・∑[k=1,n] log k
log x = 1/n・∑[k=1,n] log n - 1/n・∑[k=1,n] log k
log x = -1/n・∑[k=1,n] log(k/n)

ここで、
lim -1/n・∑[k=1,n] log(k/n)
= -∫[0,1] log t dt
= [ t - tlogt ][0,1]
= 1　(∵lim[t→+∞] tlogt = 0)

lim[n→∞] log x = 1 より、lim[n→∞] x = e