質問＜２９９０＞２００６／２／２７
from=ゆりえ
「極限について」

次の極限値を求めよ。
①ｌｉｍ　ｘ→０　(ａ＾x-1)/x       (ａ＞０）
②ｌｉｍ　ｘ→０　（２ｓｉｎｘ－ｓｉｎ２ｘ）／ｘ＾３

わかりません、教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／７
from=黒猫

①ｌｉｍ　ｘ→０　(ａ＾x-1)/x       (ａ＞０）
(i)a=1の時 代入して0
(ii)a≠1の時
a^x-1=tとしてx=log(t+1)/log(a)  (a＞0 log(a)≠0)
またx→0の時t→0
(ａ＾x-1)/x = t*log(a)/log(t+1)
            = log(a) / (1/t)*log(t+1)
            = log(a) / log((t+1)^(1/t))
            →log(a) / log(e) (t→0)
            = log(a)
これは(i)も満たす

②ｌｉｍ　ｘ→０　（２ｓｉｎｘ－ｓｉｎ２ｘ）／ｘ＾３
sin(x)/x→1 (x→0)　・・・(1)
2sin(x)-sin(2x) = 2sin(x)-2sin(x)cos(x)
                = 2sin(x)*2*(1-cos(x))/2
                = 4sin(x)*(sin(x/2))^2
これを代入して
(2sin(x)-sin(2x))/x^3 
  =4(sin(x)/x)*(sin(x/2)/(x/2))^2*(1/4)
(1)より
　→1　(x→1)