質問＜２９４５＞２００６／２／１２
from=higasi
「積分」

x√(2ax-x^2)のxについての不定積分

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１３
from=angel

√(2ax-x^2) = √( a^2 - (x-a)^2 ) と考え、三角関数での置換を行う

x-a = asinθ ( -π/2≦θ≦π/2 ) と置くと、
dx = acosθdθ
√(2ax-x^2) = acosθ
θ=arcsin( (x-a)/a )

∫x√(2ax-x^2) dx
= ∫a^3(1+sinθ)(cosθ)^2 dθ
= a^3∫( (cosθ)^2 + sinθ(cosθ)^2 ) dθ
= a^3∫( (1+cos2θ)/2 + sinθ(cosθ)^2 ) dθ
= a^3( 1/2・θ + 1/4・sin2θ - 1/3・(cosθ)^3 ) +C
= a^3( 1/2・θ + 1/2・sinθcosθ - 1/3・(cosθ)^3 ) +C
= 1/2・a^3θ + 1/2・a( asinθ・acosθ ) - 1/3・(acosθ)^3 + C
= 1/2・a^3 arcsin( (x-a)/a )
　　+ 1/2・a(x-a)√(2ax-x^2)
　　- 1/3・(2ax-x^2)√(2ax-x^2) +C
= 1/2・a^3 arcsin(x/a - 1) + 1/6・(2x^2-ax-3a^2)√(2ax-x^2) + C
　　…(答え)