質問＜２９４６＞２００６／２／１２
from=積分難しい
「積分」

次の定積分を求めなさい。が分かりません。教えて下さい。
1、∫［0→1］ｘarctanｘｄｘ
2、∫［e→e＾2］1/ｘlogｘｄｘ

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１３
from=angel

それぞれ置換で攻めます。

1.
x=tanθ と置くと、dx=dθ/(cosθ)^2

∫[0→1] xarctanx dx
= ∫[0→π/4] θtanθ/(cosθ)^2 dθ

ここで、不定積分
∫θtanθ/(cosθ)^2 dθ
= ∫θsinθ/(cosθ)^3 dθ
= θ/( 2(cosθ)^2 ) - ∫dθ/( 2(cosθ)^2 )
　※∫-f'(t)/( f(t)^3 )dt = 1/( 2f(t)^2 ) + C を利用した部分積分
= θ/( 2(cosθ)^2 ) - 1/2・tanθ + C

定積分の計算に戻って
∫[0→π/4] θtanθ/(cosθ)^2 dθ
= [ θ/( 2(cosθ)^2 ) - 1/2・tanθ ][0→π/4]
= π/4 - 1/2 …(答え)


2.
x=e^t と置くと、dx=e^t・dt

∫[e→e^2] 1/(xlogx) dx
= ∫[1→2] 1/(te^t)・e^t dt
= ∫[1→2] dt/t
= [ logt ][1→2]
= log2 …(答え)