質問＜２９３０＞２００６／２／８
from=苦手
「数列」

①次の数列｛an｝は等差数列であることを示せ。
　a_n=(a_(n+1)+a_(n-1))/2 (n=2,3,・・・)

②次をみたす数列｛bn｝の一般項を求めよ。
　b1=1,b2=3,b_n=√（b_(n+1)b_(n-1)）(n=2,3,・・・)

★希望★完全解答★

お返事２００６／２／８
from=武田

①
a_n＝(a_(n+1)＋a_(n-1))/2 (n=2,3,・・・)を変形して、
a_(n+1)－２a_n＋a_(n-1)＝０
a_(n+1)－a_n＝a_n－a_(n-1)
したがって、
階差が等しくなるので、
等差数列

（別解）
a_(n+2)－２a_(n+1)＋a_n＝０
差分方程式の特性方程式を考えて、
ρ^2－２ρ＋１＝０
（ρ－１）^2＝０
∴ρ＝１（重解）
したがって、
ａ_n＝（Ａ＋Ｂｎ）（１）^n
　　＝Ａ＋Ｂｎ
よって、等差数列となる。

②
b1=1,b2=3,b_n=√（b_(n+1)b_(n-1)）(n=2,3,・・・)を変形して、
（b_n）^2＝b_(n+1)・b_(n-1)

b_n　　　　b_(n+1)
――――＝――――
b_(n-1)　　b_n

この左辺をａ_nとおくと、
ａ_n＝ａ_(n+1)

b1=1,b2=3より、a_2＝b_2／b_1＝３／１＝３
したがって、
a_n＝３

b_n／ｂ_(n-1)＝３
b_n＝３b_(n-1)
等比数列
b_n＝Ａ３^(n-1)となる。

b1=1より、
Ａ＝１

一般項は
∴b_n＝３^(n-1)……（答）