質問＜２９３１＞２００６／２／８
from=ken
「微分」

xの３次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cはx=αで極大値、x=βで極小値をとるものとする。
①β－αをa,bで表せ。
②f(β）－ｆ（α）をa,bで表せ。
③ｆ（ｘ）のグラフが（-2,3）を通り、その点での接線の傾きが９であるとする。
　さらにf(β）－ｆ（α）=-4であるとき、a,b,cの値を求めよ。

長くてすいませんが、お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１２
from=wakky

①
f'(x)=3x^2+2ax+b
x=αで極大、x=βで極小だから
f'(x)=3x^2+2ax+b=0は異なる2つの解α，βをもつ
f'(x)=3x^2+2ax+b=0の解の判別式をDとすると
D/4=a^2-3b>0
また、解と係数の関係から
α+β=(-2a)/3，αβ=b/3
(β-α)^2=(β+α)^2-4αβ=(4/9)(a^2-3b)
a^2-3b>0より
β-α=(2/3)√(a^2-3b)・・・（答）

②
f(β)-f(α)=(β^3-α^3)+a(β^2-α^2)+b(β-α)
β+α，β-α，βαが既知なので、これらを利用して計算して
（途中計算省略）
f(β)-f(α)=(-4/27)√(a^2-3b)^3・・・（答）

③
y=f(x)が点(-2,3)を通るからf(-2)=3より
-8+4a-2b+c=3　∴4a-2b+c=11・・・①
点(-2,3)における接線の傾きが9だからf'(-2)=9より
12-4a+b=9　∴4a-b=3・・・②
f(β)-f(α)=-4より(-4/27)√(a^2-3b)^3=-4
∴a^2-3b=9・・・③
②からbを消去して③に代入すると
a^2-3(4a-3)=9  a^2-12a=0　a=0,12
②①より
(a,b,c)=(0,-3,5),(12,45,53)・・・（答）