質問<2520>2005/8/13
高校数学ではありませんが、どうかおしえていただけませんか。 Zの2元a,bの間に、 a~b⇔「aとbを7で割ったときそれぞれのあまりが等しい」という関係を いれる。また、k=1,2,3,4,5,6に対し、集合{x|x~k}をc(k)とあらわすこと にする。 ①関係~は同値関係であることを示せ。また、c(0),c(1),c(2)....c(6)は Zの類別であることを示せ。 ②集合{c(0),c(1),c(2)...,c(6)}にc(a)c(b)=c(ab)によって乗法を定義する。 (A)この乗法の定義は代表元のとり方によらないことを示せ。 (B)k=1,2,3,4,5,6に対し、c(k)c(x)=c(1)を満たすxは、一意に定まること を示せ。 という問題で、 ②(B)の解答を c(k)c(x)=c(1)を満たすxをa,bとすると c(k)c(a)=c(k)c(b)=c(1) である。これを用いてc(a)を変形すると c(a)=c(1.a)=c(1)c(a) ={c(k)c(b)}c(a) =c(b){c(k)c(a)} =c(b)c(1) =c(1) となり、c(a)=c(b)である。 いま、乗法は集合{c(0),c(1),...,(c(6)}に定義されているのでxは0以上6以下 の整数で、これらは互いに素であるので、a=bである。したがって、xは一意 に定まる。 と解答したところ、一意性はOK。存在は?とコメントされました。存在性は どのように示せばよいのでしょうか。 ★希望★完全解答★
お便り2005/10/30
from=たなか
存在性を示す C(1)C(1)=C(1) C(2)C(4)=C(1) C(3)C(5)=C(1) C(4)C(2)=C(1) C(5)C(3)=C(1) C(6)C(6)=C(1)