質問＜２５２１＞２００５／８／１４
from=timetime
「√のついた積分」

1) ∫√{(1+x)/(1-x)}dx
2) ∫√{(x-1)(3-x)}dx

この2つが分かりません。
1)はこの前に似たような問題があって
t=√{(1+x)/(1-x)}とおいてdxを求めればいいのだと思うのですが
うまくいきません。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／３
from=たなか

1)
∫√{(1+x)/(1-x)}dx
x=sinθとおくと、dx=cosθdθ
∫√{(1+x)/(1-x)}dx
=∫√(1+x)^2/(1-x^2)dx
=∫((1+sinθ)/cosθ)cosθdθ
=∫((1+sinθ)dθ
=θ-cosθ＋C
=arcsin(x)-cos(arcsin(x))＋C

2)
∫√{(x-1)(3-x)}dx
=∫√{(4-(x-1)^2}dx
ここで、x-1=2sinθとおくと、dx=2cosθdθ
√{(4-(x-1)^2}
=√{(4-(2sin^2(θ)}
=2cosθ
となる。
従って、
∫√{(x-1)(3-x)}dx
=∫2cosθ(2cosθ)dθ
=4∫((1+cos2θ)/2)dθ
=2(θ+(1/2)(sin2θ))＋C
=2arcsin((x-1)/2)+sin(2(arcsin((x-1)/2))＋C