質問＜８７０＞２００２／６／１８
from=美香
「不等式の証明」

はじめまして、こんばんわ。
ホームページを拝見し、わかりやすいと思いました。
質問させていただいてよろしいでしょうか？

（質問）
｜a｜－｜b｜≦｜a-b｜
これを証明せよです。

絶対値をはずすため、２乗する、
これだけしかわかりません。
よろしくお願いいたします。

お便り２００２／６／１９
from=phaos

次の証明は私の page
http://isweb23.infoseek.co.jp/school/phaos/preparations/triangular.htm
からの copy.

|x| - |y| ≦ |x + y|

0 ≦ |x|＜ |y| の時 |x| - |y|＜ 0 ＜ |x + y| なので明らか。

|x| ≧ |y| ≧ 0 の時 |x| - |y| ≧ 0, |x + y| ≧ 0 より

|x + y|^2 - (|x| - |y|)^2
= x^2 + 2xy + y^2 - (x^2 - 2|xy| + y^2)
= x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2|xy| - y^2) 
= 2(xy + |xy|).

2(xy + |xy|)一般に |a| ≧ -a だから |a| + a ≧ 0. 
故に |x + y|^2 - (|x| - |y|)^2 = 2(xy + |xy|) ≧ 0.

従って |x + y|^2 ≧ (|x| - |y|)^2 で, 
両辺とも正だから最初の不等式が成り立つ。 
等号成立は xy + |xy| = 0 即ち |xy| = -xy. 
従って xy ≦ 0.