質問<871>2002/6/18
3 2 f(X)=X +aX +bX+C (a,b,cは実数)を考える。 f(-1)、f(0)、f(1)がすべて整数なら,すべての整数nに対し f(n)は整数であることを示せ。また、f(1996)、f(1997)、 f(1998)がすべて整数の場合はどうか。
お便り2002/6/21
from=phaos
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c; a, b, c ∈ R に対し f(-1) = a - b + c - 1 ∈ Z (即ち a - b + c ∈ Z), f(0) = c ∈ Z, f(1) = a + b + c + 1 ∈ Z (即ち a + b + c ∈ Z). 即ち a - b, a + b, c ∈ Z. そこで A = a + b, B = a - b; A, B ∈ Z と置くと, a = (A + B)/2, b = (A - B)/2. さてここで f(n) ∈ Z ⇒ f(n + 1) ∈ Z を示せば, 数学的帰納法により ∀n(n ∈ Z ⇒ f(n) ∈ Z) が示される。 f(n + 1) = (n + 1)^3 + a(n + 1)^2 + b(n + 1) + c = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (an^2 + 2an + a) + (bn + b) + c = (n^3 + an^2 + bn + c) + (3n^2 + 3n + 1) + (a + b) + 2an = f(n) + (3n^2 + 3n + 1) + A + (A + B)n ∈ Z だから示された。 [後半] さて一般に固定された N ∈ Z に対し f(N - 1), f(N), f(N + 1) ∈ Z の場合 g(x) = f(x - N) =(x - N)^3 + a(x - N)^2 + b(x - N) + c = x^3 + (a - 3N)x^2 + (-2aN + b + 3N^2)x + (N^3 + aN^2 - bN) に対して同じ議論をすればよいので, 連続する三整数に対する値が 全て整数であるような実数係数の monic な多項式は 全ての整数に対して整数値を持つことが分かる。
お便り2002/6/22
from=toshi
x^3はxが整数ならば明らかに整数なので、考えない。 f(0)が整数なのでcは整数であるので、考えない。 f(1)=a+b=n(整数) f(-1)=a-b=k(整数) とn,kを置く。与式-(x^3+c)を考えると g(x)=(n+k)x^2/2+(n-k)x/2 これが整数だと仮定すると g(x+1)=(n+k)(x+1)^2/2+(n-k)(x+1)/2 =(n+k)x^2/2+(n-k)x/2+(n+k)x+n これはxが整数ならば成り立つ。 よって数学的帰納法より……成り立つ g(x)は整数なのでf(x)=(整数)+(整数)=(整数) である。 f(1996)、f(1997)、f(1998)がすべて整数の場合は高々 3次式の一般形(x^3+ax^2+bx+c)を平行移動させただけなので (x=x-1997) 同様の性質をもつ。