質問

「x,yの２次式x^2-xy-6y^2+9x-2y+rが、１次式の積に因数分解できるとき、
定数ｒの値を求めよ。」という問題で、

解答が、
「２次式をｘについて整理すると
　x^2-(y-9)x-6y^2-2y+r
　条件を満たすとき、ｘの方程式
　x^2-(y-9)x-6y^2-2y+r=0
　の判別式Ｄがｙの完全平方式となる。
　ゆえに　D=(y-9)^2-4(-6y^2-2y+r)=0
　すなわち　25y^2-10y+81-4r=0　の判別式が０
　であるから　5^2-25(81-4r)=0
　よって　ｒ＝２０」
となっているのですが、この解答が全く解りません。どうしてこのｘの方程式の判別式Ｄがｙの完全平方式となるとか、
Ｄ＝０と言えたり、またこの判別式Ｄで出来たｙの２次方程式の判別式が
０になるとか言えるんでしょうか。
よろしく御願いします。

お返事２００２／３／３０
from=武田

 が１次式の積になるのは、

　の解が２つあり、

かつｘ，ｙの１次式になるのだから、

ｘについて整理して、

解の公式より、

√の中が、外に出るために、完全平方式である必要がある。

今、方程式にするために、Ｄ＝０とおくと、

完全平方式になるためには、重解である必要がある。

したがって、この方程式の判別式は、Ｄ＝０より、

２５－２０２５＋１００ｒ＝０

∴ｒ＝２０………（答）

質問の√の中が完全平方式であれば、

したがって、

                              ………（答）

となる。

この問題は、テクニックとして、２回判別式をＤ＝０とすると解けるのだが、

１回目の判別式Ｄは「Ｄ＝０」と言う意味ではなく、方程式化するために＝０を

つけただけなのだ。

２回目の判別式「Ｄ＝０」は、完全平方式より重解から、Ｄ＝０がでてきたのだ。