質問＜７３１＞２００１／１２／１４
from=こうちゃん
「３次方程式の判別式」

できれば今週中にお願いしたいのですが、下記の問題の解答に至るまで
の計算過程を詳しく教えていただけませんか？
※答えはａ＞０，ｂ＞４／２７ａ^2になるそうです。

問題：ｘ＞０の範囲で、曲線ｙ＝ａｘ^3＋ｂが
　　　放物線ｙ＝ｘ^2より上側にあるための
　　　実数の定数ａ，ｂの条件を求めよ。

よろしくお願いします。

お返事２００１／１２／１７
from=武田

ｘ＞０の範囲で、ｙ＝ａｘ3 ＋ｂが、ｙ＝ｘ2 より、
上にあるのは、ａ＞０、ｂ＞０

交点が１個なので、
ａｘ3 ＋ｂ＝ｘ2 
の３次方程式が、１実数解２虚数解となるときである。

これは、３次方程式の判別式を使う。
ｘ3 ＋ｍｘ＋ｎ＝０の判別式は
　　　ｎ　　　　ｍ
Ｒ＝（―）2 ＋（―）3 
　　　２　　　　３
であり、Ｒ＞０のとき、１実数解２虚数解となる。

したがって、
ａｘ3 －ｘ2 ＋ｂ＝０
　　　１　　　ｂ
ｘ3 －―ｘ2 ＋―＝０
　　　ａ　　　ａ

　　　　　１
ｘ＝ｙ＋――　とおくと、
　　　　３ａ

　　　　１　　　１　　　　１　　　ｂ
（ｙ＋――）3 －―（ｙ＋――）2 ＋―＝０
　　　３ａ　　　ａ　　　３ａ　　　ａ

　　　　１　　　　　２　　ｂ
ｙ3 －―――ｙ－――――＋―＝０
　　　３ａ2 　　２７ａ3 　ａ

　　　　　２　　　ｂ　　　　　　　　１
　　　－――――＋―　　　　　　－―――
　　　　２７ａ3 　ａ　　　　　　　３ａ2 
Ｒ＝（――――――――）2 ＋（――――――）3 
　　　　　　２　　　　　　　　　　　３

　　２７ａ2 ｂ2 －４ｂ
　＝――――――――――＞０
　　　　１０８ａ4 

ａ＞０より、
２７ａ2 ｂ2 －４ｂ＞０
ｂ＞０より、
２７ａ2 ｂ－４＞０
２７ａ2 ｂ＞４

　　　　４
∴ｂ＞――――　………（答）
　　　２７ａ2