質問＜３８１８＞２０１１／０７／０５
from=Missions代表
「方程式」

方程式
４ｘ^３－３ｘ－１／２＝０の３解をcosα，cosβ，cosγ （０＜α＜β＜γ＜π）
の形に表せ。また、方程式
ｚ^３－９ｚ^２＋２４ｚ－１９＝０の３解を三角関数を用いて表せ。

★希望★完全解答★

お便り２０１１／７／８
from=phaos

三倍角の公式
cos3α = -3cosα + 4cos^3α
を用いると x = cosα と置くとき
cos3α = 1/2, 0 < 3α < 3π だから 3α = π/3, 5π/3, 7π/3. 
従って x = cos(π/9), cos(5π/9), cos(7π/9). 

さて
z^3 - 9z^2 + 24z - 19
= (z - 3)^3 - 3(z - 3) - 1 = 0
なので, z - 3 = 2cosα, 0 < α < π と置くとき
cos3α = 1/2. 
従って上記より z - 3 = 2cos(π/9), 2cos(5π/9), 2cos(7π/9). 
よって z = 3 + 2cos(π/9), 3 + 2cos(5π/9), 3 + 2cos(7π/9).