質問＜３８１７＞２０１１／５／２７
from=Missions代表
「方程式」

ｆ（ｘ）＝３（ａ－ｂ）ｘ^２＋６ｂｘ－ａ－２ｂ  （ａ，ｂは異なる実数定数）のとき
ｆ（ｘ）＝０は０と１の間に少なくとも一つの解を持つことを示せ。

★希望★完全解答★

お便り２０１１／６／１１
from=phaos

豆氏より間違いのご指摘を受けました。
感謝します。
解答を次のように訂正します。

f(x) = 3(a - b)x^2 + 6bx - a - 2b = 0 と置く。
x に関する判別式を D とすると
D/4 = 9b^2 - 3(a - b)(-(a + 2b))
= 9b^2 +3(a^2 + ab - 2b^2)
= 9b^2 + 3a^2 + 3ab - 6b^2
= 3a^2 + 3ab + 3b^2
= 3(a^2 + ab + b^2)
= 3((a + b/2)^2 + 3b^2/4) > 0. (a と b は同時には 0 でないから)
よって, 必ず相異なる二実数解を持つ。

-f(0)f(1) = (2a + b)(a + 2b) > 0 の場合は, 中間値の定理から言える。
そうでない場合。
即ち
(1) a > 0 で, -a < b < -a/2 の場合
(2) a < 0 で, -a/2 < b < -a の場合
と二通りある。
何れの場合でも
f(1/2) = -(a - b)/4 は f(x) の二次の係数と逆符号であり,
a > b ならば上記の (1) の場合で, この時, f(1) = 2a + b > a > 0,
a < b ならば上記の (2) の場合で, この時, f(1) = 2a + b < a < 0
だからグラフの形状から, 0 と 1 の間に二つの実数解をもつ。

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